Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có các đường cao \(BD,CE\) cắt nhau tại \(H\).

     a) Chứng minh rằng \(\Delta ADB = \Delta AEC\) và \(BE = CD\).

     b) Chứng minh \(\Delta HBC\) là tam giác cân. So sánh \(HB\) và \(HD\).

     c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC,\) \(N\) là trung điểm của \(HB\), \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\).

     Chứng minh rằng \(A,H,I\) thẳng hàng.

Nhận thấy, số có tổng các chữ số bằng 9 là các số chia hết cho 9.

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: \[9;18;27;36;45;54;63;72;81;90\].

Suy ra có 10 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố “Số ghi trên vé của Nam là số có tổng các chữ số chia hết cho \[9\]” là: \[\frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}\].

2.1. Thay \(x =  - 1;y = 1;z =  - 1\) vào biểu thức \(H = xy - xz + yz\), ta được:

            \(H = \left( { - 1} \right).1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 1} \right) =  - 1 - 1 - 1 =  - 3\).

Vậy giá trị của biểu thức \(H =  - 3\).

2.2. a) \(A\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^3} + \frac{{11}}{3}{x^2} - 6x - \frac{2}{3}{x^2} + \frac{7}{4}{x^3} + 2x + 3\)

            \( = \left( {\frac{1}{4} + \frac{7}{4}} \right){x^3} + \left( {\frac{{11}}{3} - \frac{2}{3}} \right){x^2} + \left( { - 6 + 2} \right)x + 3\)

            \( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số cao nhất là \(2\).

c) Ta có \(A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 8\).

Theo bài, \({2^n} = A\left( { - 1} \right)\) nên \({2^n} = 8 = {2^3}\)

Suy ra \(n = 3\).

Vậy \(n = 3\).

d) \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

             \( = 2{x^3} + 3{x^2} - 2{x^2} - 3x + 2x + 3\)

             \( = 2{x^3} + {x^2} - x + 3\)

Ta có \(C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

                   \( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - \left( {2{x^3} + {x^2} - x + 3} \right)\)

                   \( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - 2{x^3} - {x^2} + x - 3\)

                   \( = 2{x^2} - 3x\).

Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)

Do đó \(2{x^2} - 3x = 0\) hay \(x\left( {2x - 3} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;\frac{3}{2}} \right\}\).