(1,5 điểm) Tìm \(x;y;z\) trong các tỉ lệ thức sau:

a)\(\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}};\)

b) \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\) và \(x + y = 36;\)

c) \(x:y:z = 3:4:5\) và \(x + y - z = 144.\)

Hướng dẫn giải

4.1.Theo đề và từ hình minh họa, ta có: \(BC = 75{\rm{ km, }}AC = 20{\rm{ km}}\).

Khoảng cách từ trạm phát sóng đến hòn đảo chính là độ dài đoạn \(AB\)

Do đó, áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác \(ABC,\) ta có:

\(BC + AC > AB\) hay \(75 + 20 > AB\) nên \(AB < 95{\rm{ km}}\).

Do đó, sóng \(4G\) của trạm phát sóng tại vị trí \(A\) có thể đến đảo.

4.2. a) Xét tam giác \(\Delta ABM\) và \(\Delta DBM\), có:

\(AB = BD\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(\widehat {BAM} = \widehat {MDB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (ch – cgv)

b) Do \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (cmt) nên \(AM = MD\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC\), ta có:

\(\widehat {MAN} = \widehat {MDC} = 90^\circ \) (gt)

\(AM = MD\) (cmt)

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (cgv – gn)

Do đó, \(MN = MC\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(\Delta MNC\) cân tại \(M.\)

c) Do \(\Delta MNC\) cân tại \(M\) và \(I\) là trung điểm của \(NC\) nên \(MI\) cũng là đường cao của \(\Delta MNC\)

Suy ra \(MI \bot NC\).

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC,\) có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MD\) (cmt)

\(MN = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (c.g.c)

Do đó, \(AN = DC\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(AB + AN = BN;{\rm{ }}BD + DC = BC\).

Mà \(AN = DC,AB = BD\). Suy ra \(BN = BC\).

Do đó, \(\Delta BNC\) cân tại \(B\).

Suy ra \(BI \bot NC\) tại \(I\).

Mà \(MI \bot NC\) tại \(I\).

Do đó, \(B,M,I\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm mà các tổ I, II, III đã làm lần lượt là \(x,y,z\) \(\left( {x,y,z > 0} \right)\).

Ban đầu, ba tổ công nhân có mức năng suất tỉ lệ với \(5:4:3\) nên ta có: \(x:y:z = 5:4:3\).

Sau khi tổ I tăng năng suất \(10\% ,\) tổ II tăng năng suất \(20\% \) và tổ III tăng năng suất \(10\% \) thì lúc này ta có tỉ lệ: \(x:y:z = \left( {5.1,1} \right):\left( {4.1,2} \right):\left( {3.1,1} \right)\) hay \(\frac{x}{{5,5}} = \frac{y}{{4,8}} = \frac{z}{{3,3}}\) (1)

Lại có, sau khi tăng năng suất tổ I làm được nhiều hơn tổ II là \(14\) sản phẩm nên \(x - y = 14\) (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{5,5}} = \frac{y}{{4,8}} = \frac{z}{{3,3}} = \frac{{x - y}}{{5,5 - 4,8}} = \frac{{14}}{{0,7}} = 20\).

Do đó, \(x = 110;y = 96;z = 66\) (thỏa mãn)

Vậy số sản phẩm cả ba tổ I, II, III cùng làm được trong thời gian đó lần lượt là 110 sản phẩm, 96 sản phẩm và 66 sản phẩm.