(1,5 điểm) Cho \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có bảng sau:

a) Xác định hệ số tỉ lệ của \(x\) theo \(y.\)

b) Điền các số còn thiếu để hoàn thiện bảng trên.

Hướng dẫn giải

4.1.Theo đề và từ hình minh họa, ta có: \(BC = 75{\rm{ km, }}AC = 20{\rm{ km}}\).

Khoảng cách từ trạm phát sóng đến hòn đảo chính là độ dài đoạn \(AB\)

Do đó, áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác \(ABC,\) ta có:

\(BC + AC > AB\) hay \(75 + 20 > AB\) nên \(AB < 95{\rm{ km}}\).

Do đó, sóng \(4G\) của trạm phát sóng tại vị trí \(A\) có thể đến đảo.

4.2. a) Xét tam giác \(\Delta ABM\) và \(\Delta DBM\), có:

\(AB = BD\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(\widehat {BAM} = \widehat {MDB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (ch – cgv)

b) Do \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (cmt) nên \(AM = MD\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC\), ta có:

\(\widehat {MAN} = \widehat {MDC} = 90^\circ \) (gt)

\(AM = MD\) (cmt)

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (cgv – gn)

Do đó, \(MN = MC\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(\Delta MNC\) cân tại \(M.\)

c) Do \(\Delta MNC\) cân tại \(M\) và \(I\) là trung điểm của \(NC\) nên \(MI\) cũng là đường cao của \(\Delta MNC\)

Suy ra \(MI \bot NC\).

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC,\) có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MD\) (cmt)

\(MN = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (c.g.c)

Do đó, \(AN = DC\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(AB + AN = BN;{\rm{ }}BD + DC = BC\).

Mà \(AN = DC,AB = BD\). Suy ra \(BN = BC\).

Do đó, \(\Delta BNC\) cân tại \(B\).

Suy ra \(BI \bot NC\) tại \(I\).

Mà \(MI \bot NC\) tại \(I\).

Do đó, \(B,M,I\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

3.1.Đổi 30 phút = \(5\) giờ.

Giả sử Lan đi với vận tốc \(10{\rm{ km/h}}\) thì hết \(t\) giờ.

Ta có vận tốc và thời gian Lan đi từ nhà đến trường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(12.0,5 = 10t.\)

Suy ra \(t = \frac{{12.0,5}}{{10}} = 0,6\) giờ.

Ta có \(0,6\) giờ = \(36\) phút.

Vậy nếu Lan đi với vận tốc \(10{\rm{ km/h}}\) thì hết 36 phút.

3.2. Gọi thời gian bơm đầy nước vào mỗi bể lần lượt là \(x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z > 0,{\rm{ h}}} \right)\)

Theo đề ta có thời gian bơm đẩy nước mỗi bể tỉ lệ thuận với chiều cao của bể, do đó ta có:

\(x:y:z = 1,5:1,25:2\) hay \(\frac{x}{{1,5}} = \frac{y}{{1,25}} = \frac{z}{2}\) (1)

Mà thời gian bơm đầy bể lớn nhất nhiều hơn thời gian bơm đầy bể nhỏ nhất là 1 giờ nên ta có:

\(z - y = 1\) (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{1,5}} = \frac{y}{{1,25}} = \frac{z}{2} = \frac{{z - y}}{{2 - 1,25}} = \frac{1}{{0,75}} = \frac{4}{3}\)

Suy ra \(x = 2;y = \frac{5}{3};z = \frac{8}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy thời gian để bơm đầy nước vào mỗi bể lần lượt là 2 giờ; \(\frac{5}{3}\) giờ; \(\frac{8}{3}\) giờ.