(2,5 điểm) Một hộp có bảy thẻ gỗ có kích thước giống nhau và được đánh số lần lượt là \(1;2;3;4;5;6;7\). Rút ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.

a) Viết tập hợp \(M\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số trên thẻ được rút ra.

b) Cho biến cố \(A:\) “Rút được thẻ ghi số chẵn”. Tìm các kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

c) Tính xác suất của biến cố \(B\): “Rút được thẻ ghi số là số chia cho 5 dư 2”.

d) Tính xác suất của biến cố \(C\): “Rút được thẻ ghi số là hợp số”.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

b) Ta có \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\) nên \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\), có \(BC\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < BC\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta BMA\) vuông tại \(M\) có \(AB\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < AB\) (1)

Lại có, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB < AC\).

c) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(BC\): chung (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác \(ABC\) cân)

\(\widehat {BKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KBC = \Delta MCB\) (ch – gn)

Suy ra \(KB = MC\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AK + KB\\AC = AM + MC\end{array} \right.\). Mà \(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(AK = AM\).

Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta MAI\), có:

\(AI\) chung (gt)

\(AK = AM\) (cmt)

\(\widehat {AKI} = \widehat {AMI} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KAI = \Delta MAI\) (ch – cgv)

Suy ra \(KI = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta KIB\) và \(\Delta MIC\) có:

\(\widehat {IKB} = \widehat {IMC} = 90^\circ \)

\(IK = IM\) (cmt)

\(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta KIB = \Delta MIC\) (2cgv)

Suy ra \(\widehat {KIB} = \widehat {MIC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra \(K,I,C\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Do mật khẩu nhà bạn Nam là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ nên các số đó được tạo thành từ bộ số \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

Do đó, ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm;

5 cách chọn chữ số hàng chục;

5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Từ đó, số kết quả có thể xảy ra là: \(5.5.5 = 125\).

Mà Nam chỉ bấm 1 lần nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố là như nhau.

Do đó, xác suất để Nam bấm 1 lần mở được cửa là: \(\frac{1}{{125}}.\)