(2,5 điểm) Một hộp có bảy thẻ gỗ có kích thước giống nhau và được đánh số lần lượt là \(1;2;3;4;5;6;7\). Rút ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.

a) Viết tập hợp \(M\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số trên thẻ được rút ra.

b) Cho biến cố \(A:\) “Rút được thẻ ghi số chẵn”. Tìm các kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

c) Tính xác suất của biến cố \(B\): “Rút được thẻ ghi số là số chia cho 5 dư 2”.

d) Tính xác suất của biến cố \(C\): “Rút được thẻ ghi số là hợp số”.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

b) Ta có \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\) nên \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\), có \(BC\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < BC\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta BMA\) vuông tại \(M\) có \(AB\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < AB\) (1)

Lại có, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB < AC\).

c) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(BC\): chung (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác \(ABC\) cân)

\(\widehat {BKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KBC = \Delta MCB\) (ch – gn)

Suy ra \(KB = MC\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AK + KB\\AC = AM + MC\end{array} \right.\). Mà \(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(AK = AM\).

Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta MAI\), có:

\(AI\) chung (gt)

\(AK = AM\) (cmt)

\(\widehat {AKI} = \widehat {AMI} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KAI = \Delta MAI\) (ch – cgv)

Suy ra \(KI = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta KIB\) và \(\Delta MIC\) có:

\(\widehat {IKB} = \widehat {IMC} = 90^\circ \)

\(IK = IM\) (cmt)

\(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta KIB = \Delta MIC\) (2cgv)

Suy ra \(\widehat {KIB} = \widehat {MIC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra \(K,I,C\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có bảng số liệu thống kê thời gian luyện tập của bốn học sinh trên như sau:

b) Từ biểu đồ và bảng thống kê, nhận thấy thời gian bạn Bình tập luyện là nhiều nhất, thời gian bạn Hằng tập luyện là ít nhất.

c) Tổng thời gian bốn bạn luyện tập trong ngày là: \(60 + 70 + 50 + 45 = 225\) (phút)

Thời gian luyện tập trung bình của bốn bạn trong ngày là: \(225:4 \approx 56\) (phút)

d) Thời gian luyện tập của bạn Minh so với thời gian luyện tập của bạn Hằng là: \(\frac{{50}}{{45}}.100 \approx 111,1\% \).

Do đó, thời gian luyện tập của bạn Minh hơn thời gian luyện tập của bạn Hằng số phần trăm là:

\(111,1 - 100 = 11,1\% \)