(1,5 điểm) Bạn Hòa đi học từ nhà đến trường bằng cách đi xe buýt dọc theo tuyến đường Lạch Tray và xuống xe tại một trong hai điểm dừng \(B\) hoặc \(C\), rồi từ đó đi bộ đến trường tại vị trí điểm \(D\). Bạn Hòa nên xuống đi bộ ở điểm dừng nào để quãng đường đi bộ đến trường ngắn hơn? Biết \(\widehat B = 50^\circ ,\widehat C = 65^\circ \).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

b) Ta có \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\) nên \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\), có \(BC\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < BC\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta BMA\) vuông tại \(M\) có \(AB\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < AB\) (1)

Lại có, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB < AC\).

c) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(BC\): chung (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác \(ABC\) cân)

\(\widehat {BKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KBC = \Delta MCB\) (ch – gn)

Suy ra \(KB = MC\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AK + KB\\AC = AM + MC\end{array} \right.\). Mà \(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(AK = AM\).

Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta MAI\), có:

\(AI\) chung (gt)

\(AK = AM\) (cmt)

\(\widehat {AKI} = \widehat {AMI} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KAI = \Delta MAI\) (ch – cgv)

Suy ra \(KI = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta KIB\) và \(\Delta MIC\) có:

\(\widehat {IKB} = \widehat {IMC} = 90^\circ \)

\(IK = IM\) (cmt)

\(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta KIB = \Delta MIC\) (2cgv)

Suy ra \(\widehat {KIB} = \widehat {MIC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra \(K,I,C\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Do mật khẩu nhà bạn Nam là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ nên các số đó được tạo thành từ bộ số \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

Do đó, ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm;

5 cách chọn chữ số hàng chục;

5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Từ đó, số kết quả có thể xảy ra là: \(5.5.5 = 125\).

Mà Nam chỉ bấm 1 lần nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố là như nhau.

Do đó, xác suất để Nam bấm 1 lần mở được cửa là: \(\frac{1}{{125}}.\)