Câu hỏi:

01/07/2025 14

     1. Xét các phương trình dưới đây:

\({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0;\)                \( - \frac{3}{5}{x^3} - \frac{7}{2}x = 0;\)     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0;\)                     \({x^2} - 2y + 5 = 0.\)

     a) Trong các phương trình trên, chỉ ra phương trình bậc hai một ẩn và các hệ số \(a,b,c\) của phương trình đó.

     b) Giải phương trình tìm được ở phần a).

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi và diện tích lần lượt là \(70{\rm{\;m}}\) và \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\) Người ta chia mảnh vườn đó thành ba khu vực: khu tiểu cảnh \(ADE,\) khu trồng hoa \(BEDF,\) khu thư giãn \(BCF\) với \(BE = DF = 6{\rm{\;m}}\) như mô tả ở hình bên.

     1. Xét các phương trình dưới đây:  \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0;\)                \( - \frac{3}{5}{x^3} - \frac{7}{2}x = 0;\)     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0;\)                     \({x^2} - 2y + 5 = 0.\)       a) Trong các phương trình trên, chỉ ra phương trình bậc hai một ẩn và các hệ số \(a,b,c\) của phương trình đó.       b) Giải phương trình tìm được ở phần a).  2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:  Một mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi và diện tích lần lượt là \(70{\rm{\;m}}\) và \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\) Người ta chia mảnh vườn đó thành ba khu vực: khu tiểu cảnh \(ADE,\) khu trồng hoa \(BEDF,\) khu thư giãn \(BCF\) với \(BE = DF = 6{\rm{\;m}}\) như mô tả ở hình bên.  Người chủ vườn đã thuê người trồng hoa ở khu trồng hoa với chi phí là 50 000 đồng/m2. Tính số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu vườn hoa đó. (ảnh 1)

Người chủ vườn đã thuê người trồng hoa ở khu trồng hoa với chi phí là 50 000 đồng/m2. Tính số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu vườn hoa đó.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

     1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);

     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)

• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay  \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b =  - 10;c = 14\).

• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b =  - 2\sqrt 3 ;c = 1\).

b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)

     Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 =  - \sqrt {11} \).

     Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).

• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).

     Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là \(x{\rm{\;(m)}}\) và \(y{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Vì mảnh vườn có chu vi là \(70{\rm{\;m}}\) nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 70\] hay \(x + y = 35\).

Vì mảnh vườn có diện tích là \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 250\).

Ta có: \(x + y = 35\) và \(xy = 250\) và \({35^2} - 4 \cdot 250 = 225 > 0\) nên \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình:

\({t^2} - 35t + 250 = 0.\)

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} = 10\) (thỏa mãn); \({t_2} = 25\) (thỏa mãn).

Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(25{\rm{\;m}},\,\,10{\rm{\;m}}.\)

Khu trồng hoa \(BEDF\) có \(BE = DF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,DF\) nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: \(6 \cdot 10 = 60{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:

\(60 \cdot 50\,\,000 = 3\,\,000\,\,000\) (đồng).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

     a) Thay \(x = 1,y =  - 2\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(a =  - 2\).

     Vậy hàm số đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) là \(y =  - 2{x^2}\).

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\) như sau:                       

\(x\)

\( - 2\)

\( - 1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(y\)

\( - 8\)

\( - 2\)

\(0\)

\( - 2\)

\( - 8\)

     Do đó, đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { - 2; - 8} \right);\left( { - 1; - 2} \right);\left( {0;0} \right);\)                                   \(\left( {1; - 2} \right);\left( {2; - 8} \right)\).

     Ta có đồ thị hàm số như sau:

Cho hàm số \(y = a{x^2}{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị hàm số \(\left( P \right)\). 	a) Xác định \(a\) biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị \(a\) vừa tìm được ở trên hãy: 	b) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) với \(a\) vừa tìm được. 	c) Tìm điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(\frac{2}{3}.\) (ảnh 1)

     c) Thay \(x = \frac{2}{3}\) vào \(\left( P \right)\), ta có: \(y =  - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) hay \(y = \frac{{ - 8}}{9}\).

     Do đó, điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ là \(\frac{2}{3}\) đó là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{{ - 8}}{9}} \right)\).

Lời giải

1.

     1. Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy\] cho \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right).\) Phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \[A\] thành điểm \[I.\] Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm \(I.\)       2. Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh:  a) \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.  b) Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn.  c) \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\) (ảnh 1)

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên \[OH = AH = \left| {--2} \right| = 2.\]

Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

   2.

     1. Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy\] cho \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right).\) Phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \[A\] thành điểm \[I.\] Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm \(I.\)       2. Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh:  a) \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.  b) Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn.  c) \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\) (ảnh 2)

a)  Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(AF\) là đường kính nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\)

Suy ra ba điểm \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) và \(\widehat {AEF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)

Do đó \(\widehat {CDF} = \widehat {CEF} = 90^\circ \) nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông \(CDF,\,\,CEF\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(CF\) hay các điểm \(C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(CF.\)

Vậy tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF.\)

c) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)

Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)

Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {AFE}\).

Từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABE}\) hay \(BA\) là tia phân giác của góc \(DBE.\)

Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {CED} = \widehat {BEC}\left( { = \widehat {CFD}} \right)\) hay \(EC\) là tia phân giác của góc \(BED.\)

Xét tam giác \(BDE\) có \(BA\) và \(EC\) là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại \(A\) nên \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP