Giải phương trình sau: \({x^2} - 2x - 1 = \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \).

     a) Với \(m = 2,\) ta có: \(\left( {2.2 - 3} \right){x^2} - 2\left( {2 - 2} \right)x - 1 = 0\) hay \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\).

     Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\).

     Vậy với \(m = 2,\) phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1;1} \right\}\).

     b) Xét phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\)\), ta có:

     • Với \(2m - 3 = 0\) thì \(m = \frac{3}{2}\) thì ta được: \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\). (1)

     • Với \(2m - 3 \ne 0\) thì \(m \ne \frac{3}{2}\) ta được phương trình bậc hai \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\)

     Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} + \left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\). (2)

     Từ (1) và (2), suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) và \(2m - 3 \ne 0\), suy ra  và \(m \ne \frac{3}{2}\), do đó \(m \ne 1\) và \(m \ne \frac{3}{2}\).

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\end{array} \right.\).

     Mà theo đề, ta có: \(2{x_1} + 3{x_2} = 5\) suy ra \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\).

     Thay \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\) vào \({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\), ta được: \(\frac{{5 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\).

     Suy ra \(5 - {x_2} = \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\) nên \({x_2} = 5 - \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 7}}{{2m - 3}}\).

     Do đó, \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}{x_2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}.\frac{{6m - 7}}{{2m - 3}} = \frac{{ - 8m + 6}}{{2\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 4m + 3}}{{2m - 3}}\).

Mà \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\) nên \(\frac{{6m - 7}}{{\left( {2m - 3} \right)}}.\frac{{\left( { - 4m + 3} \right)}}{{\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}\).

Suy ra \(\left( {6m - 7} \right).\left( { - 4m + 3} \right) =  - \left( {2m - 3} \right)\)

Do đó, \(24{m^2} - 46m + 21 = 2m - 3\) hay \(24{m^2} - 48m + 24 = 0\)

Suy ra \({m^2} - 2m + 1 = 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(m = 1\) (loại).

Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

     1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);

     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)

• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay  \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b =  - 10;c = 14\).

• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b =  - 2\sqrt 3 ;c = 1\).

b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)

     Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 =  - \sqrt {11} \).

     Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).

• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).

     Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là \(x{\rm{\;(m)}}\) và \(y{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Vì mảnh vườn có chu vi là \(70{\rm{\;m}}\) nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 70\] hay \(x + y = 35\).

Vì mảnh vườn có diện tích là \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 250\).

Ta có: \(x + y = 35\) và \(xy = 250\) và \({35^2} - 4 \cdot 250 = 225 > 0\) nên \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình:

\({t^2} - 35t + 250 = 0.\)

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} = 10\) (thỏa mãn); \({t_2} = 25\) (thỏa mãn).

Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(25{\rm{\;m}},\,\,10{\rm{\;m}}.\)

Khu trồng hoa \(BEDF\) có \(BE = DF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,DF\) nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: \(6 \cdot 10 = 60{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:

\(60 \cdot 50\,\,000 = 3\,\,000\,\,000\) (đồng).