1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) và \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) như hình dưới đây.

Hỏi phép quay ngược chiều tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(B\) có góc quay bằng bao nhiêu độ?

     2. Cho đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AD.\) Hai dây cung \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\) \((E\) nằm bên trong đường tròn \(\left( O \right)).\) Vẽ \(EF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F.\) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.

b) \(FE\) là tia phân giác của \(\widehat {BFC}.\)

c) Điểm \(E\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BCF.\)

     a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{x}{2} - 1\)

     Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{x}{2} + 1 = 0\) hay \({x^2} + x - 2 = 0\) nên \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

     Suy ra \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\).

     • Với \(x =  - 2\) thì \(y =  - 2\), suy ra \(A\left( { - 2; - 2} \right)\).

     • Với \(x = 1\) thì \(y =  - \frac{1}{2}\), suy ra \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Vậy điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là điểm thuộc cả \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

     b) Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {3{y_0};{y_0}} \right)\), thay vào \(\left( P \right)\), ta có: \({y_0} =  - \frac{1}{2}{\left( {3{y_0}} \right)^2}\) hay \({y_0} =  - \frac{9}{2}{y_0}^2.\)

     Suy ra \(\frac{{{y_0}}}{{{y_0}^2}} =  - \frac{9}{2}\) hay \(\frac{1}{{{y_0}}} =  - \frac{9}{2}\) nên \({y_0} =  - \frac{2}{9}\), do đó \({x_0} = 3{y_0} = \frac{{ - 2}}{3}.\)

     Vậy điểm cần tìm là \(I\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 2}}{9}} \right)\).

     c) Ta có bảng giá trị của \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

     Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {0;0} \right);\) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {2; - 2} \right)\).

     Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Do đó, ta có đồ thị như sau:

     a) Với \(m = 2\), ta có: \({x^2} - 2x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (vô lí do \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\))

     Vậy với \(m = 2\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

     b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(1 - m \ge 0\) nên \(m \le 1.\)

     Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \le 1.\)

     c) Phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \(1 - m > 0\) nên \(m < 1.\)

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

     Lại có: \(x_1^3{x_2} + {x_1}x_2^3 - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right) - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

Suy ra \(4m - 2{m^2} - 2{m^2} = 5\) hay \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\)

Suy ra \( - \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 4 = 0\) hay \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 = 0\).

Nhận thấy \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(m < 1.\)

Suy ra \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 < 0\) với mọi \(m < 1.\)

Do đó, phương trình \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \(m\) thỏa mãn.