Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2025}  + 3\sqrt {x + 6}  = 3 + \sqrt {\left( {x - 2025} \right)\left( {x + 6} \right)} \).

     a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{x}{2} - 1\)

     Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{x}{2} + 1 = 0\) hay \({x^2} + x - 2 = 0\) nên \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

     Suy ra \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\).

     • Với \(x =  - 2\) thì \(y =  - 2\), suy ra \(A\left( { - 2; - 2} \right)\).

     • Với \(x = 1\) thì \(y =  - \frac{1}{2}\), suy ra \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Vậy điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là điểm thuộc cả \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

     b) Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {3{y_0};{y_0}} \right)\), thay vào \(\left( P \right)\), ta có: \({y_0} =  - \frac{1}{2}{\left( {3{y_0}} \right)^2}\) hay \({y_0} =  - \frac{9}{2}{y_0}^2.\)

     Suy ra \(\frac{{{y_0}}}{{{y_0}^2}} =  - \frac{9}{2}\) hay \(\frac{1}{{{y_0}}} =  - \frac{9}{2}\) nên \({y_0} =  - \frac{2}{9}\), do đó \({x_0} = 3{y_0} = \frac{{ - 2}}{3}.\)

     Vậy điểm cần tìm là \(I\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 2}}{9}} \right)\).

     c) Ta có bảng giá trị của \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

     Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {0;0} \right);\) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {2; - 2} \right)\).

     Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Do đó, ta có đồ thị như sau:

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0;\)

\( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0.\)

     • Với phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) có \(a =  - 1,b =  - \frac{3}{2},c =  - \frac{1}{2}.\)

     • Với phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có \(a =  - 3,b =  - 4\sqrt 6 ,c =  - 4.\)

     b) Giải phương trình:

     • Ta có: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) hay \( - 2{x^2} - 3x - 1 = 0\) có \(a - b + c =  - 2 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x =  - \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) là \(\left\{ { - 1; - \frac{1}{2}} \right\}\).

     • Ta có: \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) hay \( - {\left( {\sqrt 3 x - 2} \right)^2} = 0\) suy ra \(\sqrt 3 x - 2 = 0\) nên \(x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có nghiệm là \(\left\{ {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Giả sử điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, \(AM > MB.\)

Gọi độ dài của \(AM = x\) \(({\rm{cm}})\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) suy ra \(MB = 10 - x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn \(AB\) bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AM}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\).

Giải phương trình:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\)

\({x^2} = 10\left( {10 - x} \right)\)

\({x^2} = 100 - 10x\)

\({x^2} + 10x - 100 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \({x_1} =  - 5 - 5\sqrt 5 ;\)\({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 .\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(AM =  - 5 + 5\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{,}}\) tỉ số cần tìm là \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}.\)