Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2025}  + 3\sqrt {x + 6}  = 3 + \sqrt {\left( {x - 2025} \right)\left( {x + 6} \right)} \).

1.

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) nên \(OH = AH = \left| 3 \right| = 3.\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Ta có điểm \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) nằm trên trục \[Ox\] nên \(OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .\) Khi đó \(OA = OB = 3\sqrt 2 .\)

Mặt khác, \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ  + 90^\circ  = 135^\circ .\)

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0;\)

\( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0.\)

     • Với phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) có \(a =  - 1,b =  - \frac{3}{2},c =  - \frac{1}{2}.\)

     • Với phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có \(a =  - 3,b =  - 4\sqrt 6 ,c =  - 4.\)

     b) Giải phương trình:

     • Ta có: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) hay \( - 2{x^2} - 3x - 1 = 0\) có \(a - b + c =  - 2 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x =  - \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) là \(\left\{ { - 1; - \frac{1}{2}} \right\}\).

     • Ta có: \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) hay \( - {\left( {\sqrt 3 x - 2} \right)^2} = 0\) suy ra \(\sqrt 3 x - 2 = 0\) nên \(x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có nghiệm là \(\left\{ {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Giả sử điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, \(AM > MB.\)

Gọi độ dài của \(AM = x\) \(({\rm{cm}})\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) suy ra \(MB = 10 - x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn \(AB\) bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AM}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\).

Giải phương trình:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\)

\({x^2} = 10\left( {10 - x} \right)\)

\({x^2} = 100 - 10x\)

\({x^2} + 10x - 100 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \({x_1} =  - 5 - 5\sqrt 5 ;\)\({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 .\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(AM =  - 5 + 5\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{,}}\) tỉ số cần tìm là \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}.\)