Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2025}  + 3\sqrt {x + 6}  = 3 + \sqrt {\left( {x - 2025} \right)\left( {x + 6} \right)} \).

1.

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) nên \(OH = AH = \left| 3 \right| = 3.\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra

 \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 .\)

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Ta có điểm \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) nằm trên trục \[Ox\] nên \(OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .\) Khi đó \(OA = OB = 3\sqrt 2 .\)

Mặt khác, \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ  + 90^\circ  = 135^\circ .\)

Như vậy, phép quay \(135^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm \(A\) thành điểm \(B\).

2. a) Vì điểm \(B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AD\) nên \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do \(\Delta ABE\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm \(AE\) hay đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABE\) có đường kính \(AE\).
Tương tự, \(EF \bot AD\) nên \(\Delta AEF\) vuông tại \(F,\) có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đường kính \(AE.\)
Do đó, các điểm \(A,\,\,B,\,\,E,\,\,F\) đều nằm trên đường tròn đường kính \(AE.\)

     a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} = \frac{x}{2} - 1\)

     Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{x}{2} + 1 = 0\) hay \({x^2} + x - 2 = 0\) nên \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

     Suy ra \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\).

     • Với \(x =  - 2\) thì \(y =  - 2\), suy ra \(A\left( { - 2; - 2} \right)\).

     • Với \(x = 1\) thì \(y =  - \frac{1}{2}\), suy ra \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Vậy điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là điểm thuộc cả \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

     b) Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {3{y_0};{y_0}} \right)\), thay vào \(\left( P \right)\), ta có: \({y_0} =  - \frac{1}{2}{\left( {3{y_0}} \right)^2}\) hay \({y_0} =  - \frac{9}{2}{y_0}^2.\)

     Suy ra \(\frac{{{y_0}}}{{{y_0}^2}} =  - \frac{9}{2}\) hay \(\frac{1}{{{y_0}}} =  - \frac{9}{2}\) nên \({y_0} =  - \frac{2}{9}\), do đó \({x_0} = 3{y_0} = \frac{{ - 2}}{3}.\)

     Vậy điểm cần tìm là \(I\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 2}}{9}} \right)\).

     c) Ta có bảng giá trị của \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

     Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {0;0} \right);\) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);\left( {2; - 2} \right)\).

     Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\).

     Do đó, ta có đồ thị như sau: