Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2025}  + 3\sqrt {x + 6}  = 3 + \sqrt {\left( {x - 2025} \right)\left( {x + 6} \right)} \).

1.

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) nên \(OH = AH = \left| 3 \right| = 3.\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra

 \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 .\)

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Ta có điểm \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) nằm trên trục \[Ox\] nên \(OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .\) Khi đó \(OA = OB = 3\sqrt 2 .\)

Mặt khác, \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ  + 90^\circ  = 135^\circ .\)

Như vậy, phép quay \(135^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm \(A\) thành điểm \(B\).

2. a) Vì điểm \(B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AD\) nên \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do \(\Delta ABE\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm \(AE\) hay đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABE\) có đường kính \(AE\).
Tương tự, \(EF \bot AD\) nên \(\Delta AEF\) vuông tại \(F,\) có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đường kính \(AE.\)
Do đó, các điểm \(A,\,\,B,\,\,E,\,\,F\) đều nằm trên đường tròn đường kính \(AE.\)

     a) Với \(m = 2\), ta có: \({x^2} - 2x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (vô lí do \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\))

     Vậy với \(m = 2\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

     b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(1 - m \ge 0\) nên \(m \le 1.\)

     Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \le 1.\)

     c) Phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \(1 - m > 0\) nên \(m < 1.\)

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

     Lại có: \(x_1^3{x_2} + {x_1}x_2^3 - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right) - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

Suy ra \(4m - 2{m^2} - 2{m^2} = 5\) hay \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\)

Suy ra \( - \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 4 = 0\) hay \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 = 0\).

Nhận thấy \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(m < 1.\)

Suy ra \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 < 0\) với mọi \(m < 1.\)

Do đó, phương trình \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \(m\) thỏa mãn.