Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) (\(m\) là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.

b) Giải phương trình khi \(m = 2.\)

c) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3.\)

1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);

     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)

• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay  \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b =  - 10;c = 14\).

• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b =  - 2\sqrt 3 ;c = 1\).

b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)

     Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 =  - \sqrt {11} \).

     Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).

• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).

     Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Gọi lãi suất của ngân hàng tại thời điểm mẹ Hoàng gửi tiền là \(a\% \) một năm \(\left( {0 < a < 100} \right).\)

Số tiền lãi sau năm thứ nhất gửi là \(3,5a\%  = 0,035a\) (triệu đồng).

Tổng số tiền đem gửi năm thứ hai là: \(3,5 + 0,035a\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau năm thứ hai gửi là: \(\left( {3,5 + 0,035a} \right) \cdot a\%  = 0,035a + 0,00035{a^2}\) (triệu đồng).

Theo đề bài, sau hai năm tổng số tiền cả gốc lẫn lãi mà anh em Hoàng nhận được là \[3,875\] triệu đồng nên ta có phương trình:

\[3,5 + 0,035a + 0,035a + 0,00035{a^2} = 3,875\]

\[0,00035{a^2} + 0,07a - 0,375 = 0\]

\[7{a^2} + 1400a - 7500 = 0\]

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm \({a_1} \approx 5,2\) (thỏa mãn); \({a_2} =  - 205,2\) (loại).

Vậy lãi suất của ngân hàng tại thời điểm mẹ Hoàng gửi tiền là khoảng \(5,2\% \) mỗi năm.

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(AF\) là đường kính nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\) Suy ra ba điểm \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng. Chứng minh tương tự như trên, ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) và \(\widehat {AEF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)

Do đó \(\widehat {CDF} = \widehat {CEF} = 90^\circ \) nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông \(CDF,\,\,CEF\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(CF\) hay các điểm \(C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(CF.\)

Vậy tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF.\)

     b) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)

Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)

Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {AFE}\).

Từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABE}\) hay \(BA\) là tia phân giác của góc \(DBE.\)

Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {CED} = \widehat {BEC}\left( { = \widehat {CFD}} \right)\) hay \(EC\) là tia phân giác của góc \(BED.\)

Xét tam giác \(BDE\) có \(BA\) và \(EC\) là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại \(A\) nên \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)