1. Cho tam giác đều \(ABC.\) Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) là bao nhiêu độ?

       2. Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn (hình vẽ) có hai cạnh \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(E.\)

Hãy tính số đo độ của góc \(BCD\) khi biết \(\widehat {DEC} = 45^\circ \) và \(\widehat {ADx} = 120^\circ .\)

1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);

     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)

• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay  \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b =  - 10;c = 14\).

• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b =  - 2\sqrt 3 ;c = 1\).

b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)

     Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 =  - \sqrt {11} \).

     Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).

• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).

     Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Gọi lãi suất của ngân hàng tại thời điểm mẹ Hoàng gửi tiền là \(a\% \) một năm \(\left( {0 < a < 100} \right).\)

Số tiền lãi sau năm thứ nhất gửi là \(3,5a\%  = 0,035a\) (triệu đồng).

Tổng số tiền đem gửi năm thứ hai là: \(3,5 + 0,035a\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau năm thứ hai gửi là: \(\left( {3,5 + 0,035a} \right) \cdot a\%  = 0,035a + 0,00035{a^2}\) (triệu đồng).

Theo đề bài, sau hai năm tổng số tiền cả gốc lẫn lãi mà anh em Hoàng nhận được là \[3,875\] triệu đồng nên ta có phương trình:

\[3,5 + 0,035a + 0,035a + 0,00035{a^2} = 3,875\]

\[0,00035{a^2} + 0,07a - 0,375 = 0\]

\[7{a^2} + 1400a - 7500 = 0\]

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm \({a_1} \approx 5,2\) (thỏa mãn); \({a_2} =  - 205,2\) (loại).

Vậy lãi suất của ngân hàng tại thời điểm mẹ Hoàng gửi tiền là khoảng \(5,2\% \) mỗi năm.

     a) Thay \(x = 2,y = 1\)vào hàm số \(\left( P \right):y = m{x^2}\), ta được: \(4m = 1\) nên \(m = \frac{1}{4}.\)

     Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) thì đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\).

     b) Với \(m =  - \frac{1}{2}\), ta có: \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\).

Lập bảng giá trị, ta có:

Ta có đồ thị hàm số sau:

     c) Có \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\), thay \(y =  - 8\) vào hàm số ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} =  - 8\) nên \({x^2} = 16\).

     Do \(x = 4\) hoặc \(x =  - 4\).

     Vậy với \(m =  - \frac{1}{2}\), điểm có tọa độ \(\left( {4; - 8} \right);\left( { - 4; - 8} \right)\).

     d) Gọi \(I\left( {{x_0}; - \frac{1}{2}x_0^2} \right)\) là điểm có tổng hoành độ và tung độ bằng \(0.\)

     Ta có: \( - \frac{1}{2}x_0^2 + {x_0} = 0\) hay \({x_0}\left( { - \frac{1}{2}{x_0} + 1} \right) = 0\), suy ra \({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\).

     Ÿ Với \({x_0} = 0\) thì \({y_0} =  - \frac{1}{2}\).

     ŸVới \({x_0} = 2\) thì \({y_0} =  - 2.\)

     Vậy điểm thỏa mãn có \(\left( {0;0} \right),\left( {2; - 2} \right)\).