1. Cho tam giác đều \(ABC.\) Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) là bao nhiêu độ?

       2. Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn (hình vẽ) có hai cạnh \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(E.\)

Hãy tính số đo độ của góc \(BCD\) khi biết \(\widehat {DEC} = 45^\circ \) và \(\widehat {ADx} = 120^\circ .\)

     a) Thay \(x = 2,y = 1\)vào hàm số \(\left( P \right):y = m{x^2}\), ta được: \(4m = 1\) nên \(m = \frac{1}{4}.\)

     Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) thì đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\).

     b) Với \(m =  - \frac{1}{2}\), ta có: \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\).

Lập bảng giá trị, ta có:

Ta có đồ thị hàm số sau:

     c) Có \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\), thay \(y =  - 8\) vào hàm số ta có: \( - \frac{1}{2}{x^2} =  - 8\) nên \({x^2} = 16\).

     Do \(x = 4\) hoặc \(x =  - 4\).

     Vậy với \(m =  - \frac{1}{2}\), điểm có tọa độ \(\left( {4; - 8} \right);\left( { - 4; - 8} \right)\).

     d) Gọi \(I\left( {{x_0}; - \frac{1}{2}x_0^2} \right)\) là điểm có tổng hoành độ và tung độ bằng \(0.\)

     Ta có: \( - \frac{1}{2}x_0^2 + {x_0} = 0\) hay \({x_0}\left( { - \frac{1}{2}{x_0} + 1} \right) = 0\), suy ra \({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\).

     Ÿ Với \({x_0} = 0\) thì \({y_0} =  - \frac{1}{2}\).

     ŸVới \({x_0} = 2\) thì \({y_0} =  - 2.\)

     Vậy điểm thỏa mãn có \(\left( {0;0} \right),\left( {2; - 2} \right)\).

a) Phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm.

b) Với \(m = 2,\) ta có: \({x^2} - 4x - 9 = 0\).

Ta có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 9} \right) = 13 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đó là \({x_1} = 2 - \sqrt {13} \) và \({x_2} = 2 + \sqrt {13} \).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 - \sqrt {13} ;2 + \sqrt {13} } \right\}\).

c) Xét phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 2{m^2} - 1} \right) = {m^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1.\)

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta thấy \(3{m^2} + 1 > 0\) nên \(\Delta ' > 0.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,{x_1}{x_x} =  - 2{m^2} - 1.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2\left( { - 2{m^2} - 1} \right)}}{{ - 2{m^2} - 1}} =  - 3\)

\(4{m^2} + 4{m^2} + 2 = 6{m^2} + 3\)

\(2{m^2} = 1\)

\({m^2} = \frac{1}{2}\)

\(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn) hoặc \(m =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}.\)