Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh:

a) \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng và tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn.

b) \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)

1. Xét \(\Delta ABC\) đều có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) tạo nên cung lớn \(BC\) có số đo là:   Vậy góc quay của phép quay đó là \(300^\circ .\)

           2. Ta có \(\widehat {ADx} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ADx} = 120^\circ .\)

Mà \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABE\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AEB} + \widehat {BAE}\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {ABC} - \widehat {AEB} = 120^\circ  - 45^\circ  = 75^\circ .\)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) và \(\widehat {BCD} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau trong tứ giác \(ABCD\) nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {BAE} = 75^\circ .\)

a) Phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm.

b) Với \(m = 2,\) ta có: \({x^2} - 4x - 9 = 0\).

Ta có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 9} \right) = 13 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đó là \({x_1} = 2 - \sqrt {13} \) và \({x_2} = 2 + \sqrt {13} \).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 - \sqrt {13} ;2 + \sqrt {13} } \right\}\).

c) Xét phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 2{m^2} - 1} \right) = {m^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1.\)

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta thấy \(3{m^2} + 1 > 0\) nên \(\Delta ' > 0.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,{x_1}{x_x} =  - 2{m^2} - 1.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2\left( { - 2{m^2} - 1} \right)}}{{ - 2{m^2} - 1}} =  - 3\)

\(4{m^2} + 4{m^2} + 2 = 6{m^2} + 3\)

\(2{m^2} = 1\)

\({m^2} = \frac{1}{2}\)

\(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn) hoặc \(m =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}.\)