Câu hỏi:

03/07/2025 28

(2,0 điểm)

1) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}};\)b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3.\]

2) Xác định cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 4\\bx - ay = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {1;\,\, - 2} \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 1 môn Toán lớp 9 Kết nối tri thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}};\)

Điều kiện xác định \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\)

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

\[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

Suy ra \[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x\]

\[{x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x\]

\[ - 5x + 2 = 4 - 6x\]

\[6x - 5x = 4 - 2\]

\[x = 2\]

Giá trị \[x = 2\] không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\]

\[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\]

\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]

\[3x < - 7\]

\[x < - \frac{7}{3}\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) thì \(x = 1,\,\,y = - 2\) thỏa mãn hệ phương trình đó.

Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + b \cdot \left( { - 2} \right) = - 4\\b \cdot 1 - a \cdot \left( { - 2} \right) = - 5\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 2b = - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b + 2a = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình \(\left( 1 \right):\) \(2 - 2b = - 4\,,\) hay \( - 2b = - 6,\) nên \(b = 3.\)

Thay \(b = 3\) vào phương trình \(\left( 2 \right),\) ta được: \(3 + 2a = - 5,\) hay \(2a = - 8,\) nên \(a = - 4.\)

Vậy cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) cần tìm là: \(\left( { - 4;\,\,3} \right).\)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(2,0 điểm)

1) Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat B = 70^\circ ,\,\,\widehat C = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Một người quan sát ở đài hải đăng cao \(149\,\,{\rm{m}}\) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống đất là \(27^\circ .\) Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

1) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\)

Suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\)

Suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có

\(BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Do đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Vậy độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) là \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)

2) Giả sử trong hình vẽ \(BC\) là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì \(AB\) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống \[\widehat {ACx} = 27^\circ \] nên \[\widehat {CAB} = 27^\circ .\]

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}\).

Suy ra \[AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tàu đang đứng cách chân hải đăng khoảng 292 mét.

Câu 2

Cho phương trình \[2x - 5y = 1{\rm{ }}\left( * \right)\]

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Sai. Thay \[x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1\] vào phương trình \[\left( * \right)\], ta được:

\[2 \cdot \left( { - 2} \right)--5 \cdot 1 = --\,4--5 = --9 \ne 1.\]

Do đó cặp số \[\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].

b) Đúng. Phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] và có vô số nghiệm.

c) Sai. Hệ số \[a;\,\,b;\,\,c\] của phương trình \[\left( * \right)\] là \[2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.\]

d) Đúng. Ta có \[2x - 5y = 1\] suy ra \[5y = 2x - 1\] nên \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}\].

Do đó, tập hợp các điểm có tọa độ \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}.\]

Câu 3