Một phầm mềm nhận dạng tin nhắn quãng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả tin nhắn gửi đến, có số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có số tin nhắn không phải quảng cáo. Trong các tin nhắn không bị đánh dấu, có số tin nhắn là quảng cáo.

Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.

a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là .

b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng

c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng .

d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, nhỏ hơn .

Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục , , và độ dài mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có tọa độ là . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và . Ở thời điểm ban đầu (), vật đi qua với tốc độ m/giây và hướng tới . Sau giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường m. Gọi là vectơ cùng hướng với vectơ biết rằng và góc giữa vectơ lần lượt với các vectơ có số đo tương ứng bằng .

a) .

b) Phương trình đường thẳng là .

c) .

d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm . Khi đó .

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (xem hình bên). Đường thẳng B'C' song song với mặt phẳng nào sau đây?