Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị bằng 1 mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có tọa độ là . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và . Ở thời điểm ban đầu , vật đi qua với tốc độ (m/giây) và hướng tới . Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường mét. Gọi là vectơ cùng hướng với . Biết rằng và góc giữa vectơ và các vectơ có số đo tương ứng bằng .

a) .

b) Phương trình đường thẳng là .

c) .

d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm . Khi đó .

Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp.

+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?

Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại di động bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả tin nhắn gửi đến, có 10% số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có số tin nhắn là quảng cáo.

Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.

a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng .

b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng .

c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng .

d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, lớn hơn .

Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau.

Tứ phân vị thứ ba (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

Đối với ngành nuôi trồng thuỷ sản, việc kiểm soát lượng nước tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thuỷ sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc  (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn và , trong đó là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm (ngày);  (ngày) nhận được kết quả lần lượt là mg/lít;  mg/lít. Cho biết .

a) với là một hằng số xác định.

b) .

c) .

d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc nhỏ hơn mg/lít.

Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng và , bề dày của khối gỗ bằng . Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể , ở đó nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính bởi một mặt phằng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chi làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?