Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

(2,0 điểm)

1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9\) và \(\widehat {C\,} = 32^\circ .\) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác \(ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Cho hai tòa nhà 1 và tòa nhà 2 như hình vẽ bên. Trên nóc tòa nhà 2 có một cột ăng-ten thẳng cao \(4\) m. Từ vị trí quan sát \(A\) (trên nóc tòa nhà 1) cao \(7\) m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten lần lượt dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao \(CH\) của tòa nhà 2 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Hệ thức nào sau đây là sai?

(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực dương. Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} < 1\) thì \(\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau:

\(1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2\).

(2,5 điểm)

1. Xác định giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right).\)

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là \(63\). Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng \(99\). Tìm số đã cho.

Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) là

(2,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

a) \[4x\left( {x + 3} \right) - 3x - 9 = 0.\]

b) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

2. Giải các bất phương trình sau:

a) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < {x^2} + 5x\;--3.\]

b) \(\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 1}}{8} \ge \frac{{2{x^2} + 3}}{{24}} + \frac{{5x}}{6}\).