Câu hỏi:
05/07/2025 25(0,5 điểm) Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4.\) Chứng bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
⦁ Trước hết, ta chứng minh với \(a > 0\) và \(b > 0\) luôn có \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\]
Thật vậy, với \(a > 0\) và \(b > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0.\]\(\)
Do đó \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\,\,\,\left( * \right)\]
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(2x > 0\) và \(y + z > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}} \ge \frac{4}{{2x + y + z}}\]
Suy ra \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right).\]
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(y > 0\) và \(z > 0,\) ta có:
\(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{4}{{y + z}}.\)
Suy ra \[\frac{1}{{y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}.\]
Do đó: \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right).\]
Chứng minh tương tự, ta có:
\[\frac{1}{{x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right);\] \[\frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right).\]
Khi đó:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\) (do \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4).\)
Vậy \(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là \(x,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) và \(x,y > 0.\)
Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là \(2y{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\)
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau \(200{\rm{ km,}}\) đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình \[2x + 2y = 200\] hay \[x + y = 100 & \left( 1 \right)\]
Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) thì vận tốc mới của ô tô là: \(x + 10{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Nếu vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì vận tốc mới của xe máy là \(y - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Vì vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì lúc này vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình
\(x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\) hay \(x - 2y = - 20 & \left( 2 \right)\).
Từ \[\left( 1 \right)\] và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.\).
Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(3y = 120\), suy ra \(y = 40\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 40\) vào phương trình \(x + y = 100\), ta được:
\(x + 40 = 100\) suy ra \(x = 60\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của ô tô là \(60{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy là \(40{\rm{ km/h}}\).
Lời giải
Hướng dẫn giải
1. a) \[2x(3x - 1) + 6x - 2 = 0\] \[2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\] \[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\] \[2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\] \(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = - 1\). |
1. b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 9}}\) Điều kiện xác định \(x + 3 \ne 0\); \(x - 3 \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\). Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 5}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) Suy ra \(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 5\) \(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 5\) \[15 - x = 3x + 5\] \[4x = 10\] \[x = \frac{5}{2}\]. Giá trị \[x = \frac{5}{2}\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{5}{2}\]. |
2. a) \(3x - 8 > 4x - 12\) \(3x - 4x > - 12 + 8\) \( - x > - 4\) \(x < 4\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 4.\) |
2. b) Ta có: \(\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 2 < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 4x < 5\) \(\frac{{16}}{3}x < 5\) \(x < \frac{{15}}{{16}}\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{{15}}{{16}}\). |
2. c) \(2x + 3\left( {x + 1} \right) > 5x - \left( {2x - 4} \right)\) \(2x + 3x + 3 > 5x - 2x + 4\) \(5x + 3 > 3x + 4\) \(5x - 3x > 4 - 3\) \(2x > 1\) \(x > \frac{1}{2}.\) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{1}{2}.\) |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.