Cho hàm số f(x) = lnx – ln(x + 1).

a) Hàm số có tập xác định là (−1; +∞).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

c) Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) có tổng các nghiệm bằng −1.

d) Cho P = f'(1) + f'(2) + …+ f'(2023) +f'(2024). Khi đó \(P = \frac{{2024}}{{2025}}\).

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 0\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

c) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\)(thỏa mãn) hoặc x = −3 (loại).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

d) Ta có f'(1) + f'(2) + …+ f'(2023) +f'(2024)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.