Cho f là hàm khả vi tại mọi điểm và \[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]. Biết \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1,f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4.\] Tính g’(1).

Hằng ngày mực nước con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu ℎ (𝑚) trong kênh tính theo thời gian 𝑡 (ℎ) trong ngày cho bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\]. Khi nào thì mực nước con kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x - 1}}\] với x₀ = - 1.

Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019\]. Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\].

Khi \[x \to + \infty \], sắp xếp theo thứ tự tăng dần tốc độ chạy ra vô cùng của các hàm sau:

\[\alpha \left( x \right) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 2x} \right),\beta \left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - x + 2019} \right),\delta \left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + \sin {x^2}}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\]

Một đĩa quay đặt trong chất lỏng, tác động của ma sát làm giảm vận tốc quay tỷ lệ với vận tốc góc của đĩa. Hãy tìm sự phụ thuộc của vận tốc góc vào thời gian nếu biết rằng đĩa quay với vận tốc ban đầu là 5 vòng/giây thì sau 2 phút thì vận tốc giảm còn 3 vòng/giây. Sau bao lâu nó sẽ có vận tốc là 1 vòng/giây?

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^3}\] có một cực đại tại x = - 2.

Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]