(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AB = BE.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD.\)

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AE.\) Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AE.\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA,\) \(M\) là trung điểm của \(KC.\) Chứng minh \(B,D,M\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\(AB = EB\) (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BD\) chung

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta EBI,\) có:

\(AB = BE\) (gt)

\(\widehat {ABI} = \widehat {IBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BI\) chung

Do đó, \(\Delta ABI = \Delta EBI\) (c.g.c)

Suy ra \(AI = IE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AE.\)

Do đó, \(I\) là trung điểm của \(AE.\)

c) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt) suy ra \(AD = DE\) (hai cạnh tương ứng)

và \(\widehat {DAB} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng).

Nhận thấy, \(\Delta ADK\) vuông tại \(A\) và \(\Delta EDC\) vuông tại \(E\) có:

\(AD = DE\) (cmt)

\(\widehat {ADK} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta ADK = \Delta EDC\) (cgv – gn)

Do đó, \(CE = AK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(KB = KA + AB\); \(CB = CE + EB\)

Mà \(AB = BE\) (gt); \(AK = CE\) (cmt)

Do đó, \(KB = CB\).

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta CMB\) có:

\(KB = CB\) (cmt)

\(KM = CM\) (gt)

\(MB\) chung

Do đó, \(\Delta KMB = \Delta CMB\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {KBM}\) (hai góc tương ứng)

Mà tia \(BM\) nằm giữa hai tia \(BK,BC\) nên \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {KBC}\).

Mặt khác, \(BD\) cũng là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Do đó, ba điểm \(B,D,M\) thẳng hàng.