(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A.\) Gọi \(G\) là trung điểm của \(BC.\) Qua \(G\) kẻ \(GE \bot AB\) \(\left( {E \in AB} \right)\) và \(GF \bot AC\) \(\left( {F \in AC} \right).\) Từ \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(BF,\) đường thẳng này cắt \(GF\) tại \(I.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(AGCI\) là hình vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là một điểm bất kì trên cạnh huyền \(BC\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) xuống \(AB\) và \(AC.\) Lấy điểm \(I\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(ID\); điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(EK\).

a) \(IA = ID\,;\,\,KM = KE.\)

b) Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

c) Tứ giác \(ADMC\) là hình thang cân.

d) \(DK\,{\rm{//}}\,EI\).

Một kho chứa có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là 6 m và trung đoạn là \[3{\rm{ m}}.\] Người ta muốn sơn phủ bên ngoài cả ba mặt xung quanh của kho chứa đó và không sơn phủ phần cửa có diện tích là \[7{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\] Biết rằng cứ mỗi mét vuông sơn cần trả \[50\,\,000\] đồng. Tính số tiền cần trả để hoàn thành việc sơn phủ đó theo đơn vị triệu đồng?

Cho biểu thức \[I = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\,\,\,\left( {x \ne 0\,;\,\,x \ne 2} \right)\]. Hỏi sau khi rút gọn biểu thức \[I\] ta được đa thức có bậc là bao nhiêu?

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ nhà máy \(C\) trên bờ đến một điểm \({\rm{B}}\) trên đất liền. Điểm \(A\) đảo cách bờ biển ở điểm \(B\) là \(9\,\;{\rm{km}}.\) Giá để xây dựng đường ống từ nhà máy trên biển điểm \(B\) đến diểm \(C\) trên bờ là \(5\,\,000\,\,{\rm{USD}}/{\rm{km}}.\) Khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(12\;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\) Biết \(1\,\,{\rm{USD}} = 26\,\,115\) đồng tại thời điểm đó. Hỏi chi phí làm đường ống từ điểm \(B\) tới điểm \(C\) của công ty trên khoảng bao nhiêu tỉ đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Cho đa thức \(U = \left( {10{x^5}{y^3} - 25{x^3}{y^2} + 20{x^4}{y^3}} \right):\left( { - 5{x^2}{y^2}} \right)\) và \(V = 2{x^2}y\left( {x + 2} \right)\).

a) Hệ số cao nhất của của đa thức \(U\) là 5.

b) Giá trị của biểu thức \(U\) tại \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) là 10.

c) Bậc của đa thức \(V\) là 4.

d) Tổng của hai đa thức \(U\) và \(V\) chia hết cho 5.

Cho biểu thức \[T = \left( {{x^2} - 6x + 12} \right)\left( {x - 6} \right) - {\left( {x - 4} \right)^3}\]. Giá trị của biểu thức \[T\] bằng bao nhiêu?