Cho biểu thức \(M = {\left( {x + 3} \right)^3} - \left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 27} \right)\). Giá trị của biểu thức \(M\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.

⦁ Do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BE = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2BE.\)

Vì \(BC = 2AB\) và \(BC = 2BE\) nên \(AB = BE\). Do đó ý a) là sai.

⦁ Theo đề bài, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(AD = BC\); \(BE = \frac{1}{2}BC;\,AF = \frac{1}{2}AD\) (do \(F\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BE = AF\).

Tứ giác \(ABEF\) có \(BE = AF\) (cmt) và \(BE\,{\rm{//}}\,AF\) (vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\,).\)

Suy ra, tứ giác \(ABEF\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ABEF\) có \(AB = BE\) nên \(ABEF\) là hình thoi. Do đó ý b) sai.

⦁ Ta thấy \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác \(ADI\) nên tam giác \(ADI\) cân tại \(D\).

Tam giác \(ADI\) cân tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADI\) là tam giác đều.

Suy ra \(BD\) cũng là đường cao của tam giác \(ADI\) nên \(BD \bot BI\) hay \(\widehat {DBI} = 90^\circ .\)

Do đó ý c) đúng.

⦁ Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Vì \(AB = CD\); \(AB = BI\) (do \(B\) là trung điểm của \(AI)\) nên \(BI = CD\).

Tứ giác \(BICD\) có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\)) và \(BI = CD\) nên tứ giác \(BICD\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(BICD\) có \(\widehat {DBI} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BICD\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(E\) là trung điểm của \(DI\).

Ta có tam giác \(ADI\) là tam giác đều có \(AE\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, \(AE \bot DI\) hay \(\widehat {AED} = 90^\circ \). Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

a) Do \[ME \bot AB\] tại \(E\) nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)

Do \[MF \bot AD\] tại \(F\) nên \(\widehat {MFA} = 90^\circ .\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {EAF} = 90^\circ .\)

Tứ giác \[AEMF\] có \(\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \[AEMF\] là hình chữ nhật.

b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

Do đó \(\widehat {ABD} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta BEM\) vuông cân tại \(E\) nên \(BE = ME.\)

Do \[AEMF\] là hình chữ nhật nên \(ME = AF\) nên \(BE = AF.\)

Chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] là:

\[2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.\]

Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất khi \[AEMF\] là hình vuông.

Suy ra \[ME = MF.\]

Khi đó \[\Delta BEM = \Delta DFM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[BM = DM\] hay \[M\] là trung điểm của \[BC.\,\]

Vậy với \[M\] là trung điểm của \[BC\] thì diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.