Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<-1\\ x^2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-1\le x\le 3\end{array}\right.$

a) \(f\left( 0 \right) = 2\).

b) Đúng. Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ { - 1;3} \right] = \left( { - \infty ;3} \right]\).

c) Sai. Trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\). Do đó, hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Trên \(\left[ { - 1;0} \right)\), \(f\left( x \right) = {x^2}\). Do đó, hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;0} \right)\).

d) Đúng. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\).

Với \(x <  - 1\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(x + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x =  - \frac{7}{4}\).

Với \( - 1 \le x \le 3\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Do đó, tổng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \( - \frac{7}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} =  - \frac{7}{4}\).