Câu hỏi:

19/08/2025 493

Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 4cos t, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng. Lập phương trình chuyển động của con lắc đó?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(1). Suy ra s' (t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có: \[\int {v\left( t \right)dt} = \int {4cost{\rm{dt}}} = 4sint + C.\]

Suy ra s(t)=4sint+C.

Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + C = 0, hay C = 0. Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sint.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: \[v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}\]. trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) \[\left( {t \ge 0} \right)\]

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số $v({\rm{t}})$.

Ta có: $\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$

Suy ra $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$.

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên ${\rm{h}}(0) = 5$, suy ra $- 0, 025 \cdot 0^{4} + \frac{0^{3}}{3} + C = 5$ suy ra ${\rm{C}} = 5$.

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

b) Xét hàm số $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

Ta có $h'(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h'(t) = 0$ khi $t = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = 10$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $h(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\frac{{265}}{3}$ cm .

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: $v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)$.

Ta có ${v^{\prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v'}}$ (t) $ = 0$ khi ${\rm{t}} = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = \frac{{20}}{3}$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $v(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta suy ra thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất là $t = \frac{20}{3}$ . Khi đó chiều cao của cây cà chua là:

$h (\frac{20}{3}) = - 0, 025 \cdot {(\frac{20}{3})}^{4} + \frac{{(\frac{20}{3})}^{3}}{3} + 5 = \frac{4405}{81} (c m) .$

Câu 2

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số ${h^\prime }(t) = \frac{1}{{216}}\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{, }}$trong đó $t$ tính bằng giờ $(0 \le t \le 24),{h^\prime }(t)$ tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số $h(t)$.

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}$

Suy ra $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C$.

Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ nên $h(0) = 6$, suy ra $C = 6$.

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)$

b) Ta tìm ${\min _{[0;24]}}h(t)$ và ${\max _{[0;24]}}h(t)$.

- ${h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 $ hoă̆c $t = 12 + 4\sqrt 3 $.

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2) (ảnh 2)

Do đó, ta có: ${\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9$;

${\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1$

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng $11,1\;{\rm{m}}$ và thấp nhất khoảng $0,9\;{\rm{m}}$.

c) Ta tìm ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)$.

- ${h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)$;

${h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}$

- Bảng biến thiên của hàm số ${h^\prime }(t)$ :

Do đó, ta có: ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}$.

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi $t = 0$ và $t = 24$. Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là $\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}$.

Câu 3