Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2 \) và \(P = \frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {m^2} + {n^2}\) biết \(P = \frac{m}{n}\)(\(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản).

Vì \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được:

\(P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}} =  - 2 = \frac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(A = {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} = 5\).

Đáp án: \(5\).