Câu hỏi:

24/07/2025 1,201

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t) = 160 - 9,8t(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})$. Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau $t = 5$ giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu hỏi trong đề: 20 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến nguyên hàm (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta đã biết độ cao $h(t)$ của vién đạn (tính từ mặt đất) tại thời điểm $t$ thoả mān ${h^\prime }(t) = v(t)$ nên $h(t)$ là nguyên hàm của hàm vận tốc $v(t)$. Ta có:

$\int v (t){\rm{d}}t = \int {(160 - 9,8t)} {\rm{d}}t = 160t - 4,9{t^2} + C$

Do đó, độ cao $h(t)$ có dạng $h(t) = 160t - 4,9{t^2} + C$. Kết hợp với giả thiết $h(0) = 0$ ta được $C = 0$ và $h(t) = 160t - 4,9{t^2}(\;{\rm{m}})$.

a) Sau thời gian $t = 5$ (giây), độ cao của viên đạn là:

$h = h(5) = 160 \cdot 5 - 4,9 \cdot {5^2} = 677,5(\;{\rm{m}})$

b) Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất thì $v(t) = 160 - 9,8t = 0$.

Từ đó ta có $t = {t_{x\pi }} \approx 16,3$ (giây).

Độ cao lớn nhất của viên đạn là ${h_{\max }} = h\left( {{t_w}} \right) \approx 160 \cdot 16,3 - 4,9 \cdot {16,3^2} \approx 1360,1(\;{\rm{m}})$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: \[v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}\]. trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) \[\left( {t \ge 0} \right)\]

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số $v({\rm{t}})$.

Ta có: $\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$

Suy ra $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$.

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên ${\rm{h}}(0) = 5$, suy ra $- 0, 025 \cdot 0^{4} + \frac{0^{3}}{3} + C = 5$ suy ra ${\rm{C}} = 5$.

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

b) Xét hàm số $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

Ta có $h'(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h'(t) = 0$ khi $t = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = 10$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $h(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\frac{{265}}{3}$ cm .

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: $v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)$.

Ta có ${v^{\prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v'}}$ (t) $ = 0$ khi ${\rm{t}} = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = \frac{{20}}{3}$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $v(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta suy ra thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất là $t = \frac{20}{3}$ . Khi đó chiều cao của cây cà chua là:

$h (\frac{20}{3}) = - 0, 025 \cdot {(\frac{20}{3})}^{4} + \frac{{(\frac{20}{3})}^{3}}{3} + 5 = \frac{4405}{81} (c m) .$

Câu 2

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số ${h^\prime }(t) = \frac{1}{{216}}\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{, }}$trong đó $t$ tính bằng giờ $(0 \le t \le 24),{h^\prime }(t)$ tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số $h(t)$.

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}$

Suy ra $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C$.

Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ nên $h(0) = 6$, suy ra $C = 6$.

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)$

b) Ta tìm ${\min _{[0;24]}}h(t)$ và ${\max _{[0;24]}}h(t)$.

- ${h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 $ hoă̆c $t = 12 + 4\sqrt 3 $.

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2) (ảnh 2)

Do đó, ta có: ${\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9$;

${\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1$

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng $11,1\;{\rm{m}}$ và thấp nhất khoảng $0,9\;{\rm{m}}$.

c) Ta tìm ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)$.

- ${h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)$;

${h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}$

- Bảng biến thiên của hàm số ${h^\prime }(t)$ :

Do đó, ta có: ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}$.

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi $t = 0$ và $t = 24$. Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là $\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}$.

Câu 3