Kí hiệu \(h(x)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao \(2\;{\rm{m}}\). Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triền với tốc độ \({h^\prime }(x) = \frac{1}{x}(\;{\rm{m}}/{\rm{nam}})\).
a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \((1 \le x \le 11)\).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao \(3\;{\rm{m}}\) ?
Kí hiệu \(h(x)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao \(2\;{\rm{m}}\). Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triền với tốc độ \({h^\prime }(x) = \frac{1}{x}(\;{\rm{m}}/{\rm{nam}})\).
a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \((1 \le x \le 11)\).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao \(3\;{\rm{m}}\) ?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(h(x) = \int {{h^\prime }} (x){\rm{d}}x = \int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \ln x + C\) với \(1 \le x \le 11\).
Vì \(h(1) = 2\) nên \(\ln 1 + C = 2\), suy ra \(C = 2\).
Vậy chiều cao của cây sau \(x\) năm là \(h(x) = \ln x + 2(1 \le x \le 11)\).
b) Ta có \(h(x) = 3 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 3 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \approx 2,718\) năm.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}\)
Suy ra \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\).
Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) nên \(h(0) = 6\), suy ra \(C = 6\).
Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)\)
b) Ta tìm \({\min _{[0;24]}}h(t)\) và \({\max _{[0;24]}}h(t)\).
- \({h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0\)
\( \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 \) hoă̆c \(t = 12 + 4\sqrt 3 \).
- Bảng biến thiên:
Do đó, ta có: \({\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9\);
\({\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1\)
Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11,1\;{\rm{m}}\) và thấp nhất khoảng \(0,9\;{\rm{m}}\).
c) Ta tìm \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)\).
- \({h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)\);
\({h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}\)
- Bảng biến thiên của hàm số \({h^\prime }(t)\) :
Do đó, ta có: \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}\).
Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t = 0\) và \(t = 24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}\).
Lời giải
a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\).
Ta có: \(\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)
Suy ra \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
Vi cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên \({\rm{h}}(0) = 5\), suy ra \({\rm{C}} = 5\).
Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).
b) Xét hàm số \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).
Ta có \(h(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h(t) = 0\) khi \(t = 0\) hoặc \({\rm{t}} = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.
c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{265}}{3}\) cm .
d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: \(v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)\).
Ta có \({v^{\prime \prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v}}\) (t) \( = 0\) khi \({\rm{t}} = 0\) hoặc \({\rm{t}} = \frac{{20}}{3}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(v(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao \(\frac{{400}}{{27}}\;{\rm{cm}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo