Câu hỏi:

22/07/2025 3

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số \({h^\prime }(t) = \frac{1}{{216}}\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{, }}\)trong đó \(t\) tính bằng giờ \((0 \le t \le 24),{h^\prime }(t)\) tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số \(h(t)\).

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến nguyên hàm (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}\)

Suy ra \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\).

Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) nên \(h(0) = 6\), suy ra \(C = 6\).

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)\)

b) Ta tìm \({\min _{[0;24]}}h(t)\) và \({\max _{[0;24]}}h(t)\).

- \({h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 \) hoă̆c \(t = 12 + 4\sqrt 3 \).

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2) (ảnh 2)

Do đó, ta có: \({\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9\);

\({\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1\)

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11,1\;{\rm{m}}\) và thấp nhất khoảng \(0,9\;{\rm{m}}\).

c) Ta tìm \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)\).

- \({h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)\);

\({h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}\)

- Bảng biến thiên của hàm số \({h^\prime }(t)\) :

Do đó, ta có: \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}\).

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t = 0\) và \(t = 24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = -9,8t + 19,6 (m/s)

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t

b) Hỏi sau bao nhiều lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Khi đó, ta có: h(t) = \[\int {\left( { - 9,8t + 19,6} \right)dt} \] = -4,9t2 +19,6t+C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm t = 0 thì h = 24,5 hay h(0) = 24,5.

Suy ra C = 24,5.

Vậy công thức tính độ cao h (t) của quả bóng theo thời gian là: h(t)=-4,9t2 +19,6t +24,5.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0. Ta có: – 4,9t2 + 19,6t + 24,5 = 0. Giải phương trình ta được:

t = - l; t =5. Mà t > 0 nên t = 5. Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Câu 2

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn , sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày \[\left( {0 \le t \le 10} \right)\]. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số \[P'(t) = k\sqrt t \], trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng thành 600 vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số \({\rm{P}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số P ( t ).

Ta có \(\int {{P^\prime }} (t)dt = \int k \sqrt t dt = k\int {{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \frac{{2k}}{3} \cdot {t^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + C\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + C\).

Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với \({\rm{t}} = 0\) thì \({\rm{P}} = 500\) hay \({\rm{P}}(0)\) \( = 500\), suy ra \(\frac{{2k}}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt 0 + C = 500\), do đó \({\rm{C}} = 500\). Suy ra \(P(t) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + 500\).

Vi sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi \({\rm{t}} = 1\) thì \({\rm{P}} = 600\), hay \({\rm{P}}(1) = 600\), suy ra \(\frac{{2k}}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1 + 500 = 600\), do đó \({\rm{k}} = 150\).

Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t là:

\(P(t) = \frac{{2 \cdot 150}}{3}t\sqrt t + 500 = 100t\sqrt t + 500\quad (0 \le t \le 10){\rm{. }}\)

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là:

\(P(7) = 100 \cdot 7\sqrt 7 + 500 \approx 2352{\rm{ (vi khuan)}}{\rm{. }}\)

Câu 3