Câu hỏi:

24/07/2025 91 Lưu

Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tỉnh theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phi cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: \[C'(x) = 5 - 0,06x + 0,00072{x^2}\] với \[0 \le x \le 150\]. Biết rằng C(0) = 30 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có: \[C(100) - C(0) = \int\limits_0^{100} {C'(x)dx}  = \int\limits_0^{100} {\left( {5 - 0,06x + 0,00072{x^2}} \right)dx}  = 440\]

Suy ra C(100) = C(0) + 440 = 30 + 440 = 470 (triệu đồng).

Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phi là 470 triệu đồng.

 

 

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có \({\rm{f}}({\rm{x}}) = \ln {\rm{y}}({\rm{x}})\). Lấy đạo hàm hai vế ta được: \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = \frac{{{y^\prime }(x)}}{{y(x)}}\).

Mà \({y^\prime }({\rm{x}}) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}y(x)\), suy ra \( =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

Do đó, \({f^\prime }(x) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

Hàm số \(f(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x)\).

Ta có \(\int {{f^\prime }} (x)dx = \int {\left( { - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)} dx =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\).

Suy ra \(f(x) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\).

Mà \(f(x) = \ln y(x)\) nên \(\ln y(x) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C\). Suy ra \(y(x) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + C}}\).

Vì tại \(x = 0\), nồng độ ban đầu của chất \(A\) là \(0,05\;{\rm{mo}}{{\rm{l}}^{ - 1}}\), tức là \({\rm{y}}(0) = 0,05\) nên \({e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05\).

Vậy \(f(x) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln 0,05\).

b) Từ câu a, ta có \(y(x) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).

Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{30 - 15}}\int_{15}^{30} y (x)dx = \frac{1}{{15}}\int_{15}^{30} {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}} dx = \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}} dx\\ = \left. {\frac{1}{{300}} \cdot \frac{{{{\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^4}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}}}}}} \right|_{15}^{30} = \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 30}} - {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 15}}} \right) \approx 0,049\left( {\;{\rm{mol}}\;{{\rm{L}}^{ - 1}}} \right).\end{array}\)

 

Lời giải

a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phảm là \(\int_{100}^{101} {( - 0,0005x + 12,2)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{101} = 12,14975\) (triệu đồng).

b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm là \(\int_{100}^{110} {( - 0,0005x + 12,2)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{110} = 121,475\) (triệu đồng).