Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{{\rm{x}}_0};{{\rm{P}}_0}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \({\rm{p}} = {\rm{D}}({\rm{x}})\) và đồ thị hàm cung p \( = {\rm{S}}({\rm{x}})\) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \({\rm{p}} = {{\rm{p}}_0}\) và đường thẳng đứng \({\rm{x}} = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \({\rm{p}} = {{\rm{p}}_0}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, \({8^{{\rm{th }}}}\) edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: \(p =  - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó \(x\) là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Ở nhiệt độ 370C, một phản ứng hóa học từ chất A, chuển hóa thành sản phầm B theo phương trình phản ứng \[A \to B\]. Giả sử y(x) là nồng độ chất A ( đơn vị mol L-1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với \[x \ge 0\], thỏa mãn hệ thức \[y'(x) =  - {7.10^{ - 4}}y(x)\] với mọi \[x \ge 0\]. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol L-1.

a) Xét hàm số f(x) = lny(x) với \[x \ge 0\]. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L-1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với \[0 < a < b\] theo công thức \[\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f(x)dx} \]. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:\[v(t) = \left\{ \begin{array}{l}0,5t{\rm{        }},0 \le t < 2\\1{\rm{            }},2 \le t < 15\\4 - 0,2t{\rm{    }},15 \le t \le 20\end{array} \right.\]. Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian t từ 0 đến 20 phút.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức: \[P'\left( x \right) =  - 0,0005x + 12,2\]. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.

Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tỉnh theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phi cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: \[C'(x) = 5 - 0,06x + 0,00072{x^2}\] với \[0 \le x \le 150\]. Biết rằng C(0) = 30 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là \[v(t) = {t^2} - t - 6\] (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \[1 \le t \le 4\], tức là tính \[\int\limits_1^4 {v(t)dt} \].

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \[\int\limits_1^4 {\left| {v(t)} \right|dt} \].

Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức: \[v(t) = 20 - 5t,{\rm{ }}(0 \le t \le 4).\]

a) Kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức: \[v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right),\]trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \[0 \le r \le R\]. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.