Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O. Hình chiếu song song của đoạn thẳng AO theo phương AD lên mặt phẳng (SCD) là đoạn thẳng MN. Tỉ số \(\frac{{MN}}{{OA}} = \frac{{\sqrt a }}{a},a \in \mathbb{N}\). Tìm a.

Gọi E = BM Ç CD; F = CM Ç BD; G = DM Ç BC.

Trong mặt phẳng (ABE), kẻ MB' // AB (B' Î AE Ì (ACD)). Suy ra B' là hình chiếu của M trên (ACD) theo phương chiếu AB.

Trong mặt phẳng (ACF), kẻ MC' // AC (C' Î AF Ì (ABD)). Suy ra C' là hình chiếu của M trên (ABD) theo phương chiếu AC.

Trong mặt phẳng (ADG), kẻ MD' // AD (D' Î AG Ì (ABC)). Suy ra D' là hình chiếu của M trên (ABC) theo phương chiếu AD.

Trong DABE có \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{BE}}\).

Tương tự: \(\frac{{MC'}}{{AC}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); \(\frac{{MD'}}{{AD}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).

Có \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le {\left( {\frac{{\frac{{MB'}}{{AB}} + \frac{{MC'}}{{AC}} + \frac{{MD'}}{{AD}}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}}}}{3}} \right)^3}\).

Ta thấy \(\frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} = \frac{{BD.d\left( {M,BD} \right)}}{{BD.d\left( {C,BD} \right)}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); tương tự \(\frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{ME}}{{BE}};\frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).

Suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}} = \frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}}\)\( = \frac{{{S_{\Delta MCD}} + {S_{\Delta MBD}} + {S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta BCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = 1\).

Do đó \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le \frac{1}{{27}}\).

Suy ra a = 1; b = 27. Do đó a + b = 28.

Trả lời: 28.

a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.

b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.

c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I.

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( {MNI} \right)\\BB' \subset \left( {BCC'B'} \right)\\MN//BB'\end{array} \right.\). Suy ra giao tuyến của mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.

d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.

Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).

Có NJ = JK = MH Þ NK = 2MH = AC.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.