Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Gọi B', C', D' lần lượt là hình chiếu song song của M theo các phương AB, AC, AD lên các mặt (ACD), (ABD), (ABC). Giá trị lớn nhất của \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}}\) là \(\frac{a}{b}\) với a, b nguyên và (a, b) = 1. Tính giá trị của a + b.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi E = BM Ç CD; F = CM Ç BD; G = DM Ç BC.
Trong mặt phẳng (ABE), kẻ MB' // AB (B' Î AE Ì (ACD)). Suy ra B' là hình chiếu của M trên (ACD) theo phương chiếu AB.
Trong mặt phẳng (ACF), kẻ MC' // AC (C' Î AF Ì (ABD)). Suy ra C' là hình chiếu của M trên (ABD) theo phương chiếu AC.
Trong mặt phẳng (ADG), kẻ MD' // AD (D' Î AG Ì (ABC)). Suy ra D' là hình chiếu của M trên (ABC) theo phương chiếu AD.
Trong DABE có \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{BE}}\).
Tương tự: \(\frac{{MC'}}{{AC}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); \(\frac{{MD'}}{{AD}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).
Có \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le {\left( {\frac{{\frac{{MB'}}{{AB}} + \frac{{MC'}}{{AC}} + \frac{{MD'}}{{AD}}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}}}}{3}} \right)^3}\).
Ta thấy \(\frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} = \frac{{BD.d\left( {M,BD} \right)}}{{BD.d\left( {C,BD} \right)}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); tương tự \(\frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{ME}}{{BE}};\frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).
Suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}} = \frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}}\)\( = \frac{{{S_{\Delta MCD}} + {S_{\Delta MBD}} + {S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta BCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = 1\).
Do đó \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le \frac{1}{{27}}\).
Suy ra a = 1; b = 27. Do đó a + b = 28.
Trả lời: 28.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \[\left. \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right\} \Rightarrow AIB'I'\] là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến điểm \[I\] thành điểm \[B'\].
Câu 2
A. ADC.
B. ADB.
C. BCD.
D. ABC.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn A
Do A'A // B'B nên hình chiếu của A' theo phương B'B là A.
D'D // B'B nên hình chiếu của D' theo phương B'B là D.
C'C // B'B nên hình chiếu của C' theo phương B'B là C.
Vậy hình chiếu của DA'D'C' theo phương B'B là tam giác ADC.
Câu 3
A. S.
B. Trung điểm của BC.
C. B.
D. C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập