Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Khi đó:

a) f'(1) = 5.

b) f"(−2) = 2.

c) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(\frac{1}{4}\).

d) Với g(x) = lnf(x) thì g'(1) + g'(2) + … + g'(100) ≈ 0,99.

a) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

b) \(f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).

c) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

d) Có \(g\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\). Khi đó \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(g'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 1}} = 1 - \frac{1}{2}\); \(g'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\); …; \(g'\left( {100} \right) = \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\).

Suy ra g'(1) + g'(2) + … + g'(100) \( = 1 - \frac{1}{{101}} \approx 0,99\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.