Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm \(AM\). Đường thẳng \(BN\) cắt \(AC\) tại \(P\). Khi đó \(\overrightarrow {AC} = x\overrightarrow {CP} \) thì giá trị của \(x\) là:

a) Đúng. Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0\).

b) Đúng. Do \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên ta có \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \vec 0\).

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN} \). (1)

d) Đúng. Ta lại có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DN} \). (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

\(2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {DN} } \right)\).

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \).

Ta có \(\overrightarrow {{F_2}}  =  - 2{\vec F_1}\).

Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng \(\vec 0\)

\( \Leftrightarrow {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow {\vec F_1} - 2{\vec F_1} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}}  + {\vec F_4} = {\vec F_1}\).

Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} ,{\vec F_3} = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow {OD} \).

Ta có \({\vec F_3} + {\vec F_4} = {\vec F_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA} \). Do đó \(OCAD\) là hình bình hành.

Mặt khác \(OC = OD = 20\) và \(\widehat {COD} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ \) nên \(OCAD\) là hình vuông.

Khi đó \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = OA = 20\sqrt 2 \;{\rm{N}},\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\left| {{{\vec F}_1}} \right| = 40\sqrt 2 \;{\rm{N}} \approx {\rm{56,6}}\,\,{\rm{N}}\).

Đáp án: 56,6.