Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ \(700\) (km/h) thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ \(40\) (km/h). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm vận tốc mới của máy bay (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị km/h).

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).

a) Sai. Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \),

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CB}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\cos \widehat {ACB}\)

                    \( =  - CB \cdot CA \cdot \cos 30^\circ  =  - 2a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - 3{a^2}.\)

d) Đúng. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - {a^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - 3{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - {a^2} - 3{a^2} =  - 4{a^2}\).