Một khối gỗ dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 8 cm, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α với \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Người thợ cắt khối chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên để được một hình chóp S.A'B'C'D' và một hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.A'B'C'D' và V2 là thể tích khối chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Biết \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{a}{b}\) với a, b Î ℤ và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính 2a + 3b.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh 8 cm nên \(DO = \frac{{DC}}{2} = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \).

Góc \(\widehat {SDO}\) là góc giữa cạnh bên với mặt đáy.

Xét DSOD vuông tại O, ta có \(\tan \widehat {SDO} = \frac{{SO}}{{OD}} \Rightarrow SO = OD.\tan \alpha = 4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).

Vì khối chóp bị cắt bởi mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên nên hình chóp S.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 4 cm và chiều cao 4 cm.

Khi đó \({V_1} = \frac{1}{3}{.4.4^2} = \frac{{64}}{3}\).

Thể tích của hình chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}{.8.8^2} = \frac{{512}}{3}\).

Khi đó \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{512}}{3} - \frac{{64}}{3} = \frac{{448}}{3}\).

Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{64}}{3}:\frac{{448}}{3} = \frac{1}{7}\).

Suy ra a = 1; b = 7. Do đó T = 2a + 3b = 23.

Trả lời: 23.