Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003{x^2}\) triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là \(200\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Gọi \(C\left( x \right)\) là chi phí sản xuất \(x\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) sản phẩm mỗi ngày và \(\overline c \left( x \right)\) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) \(\overline c \left( x \right) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x}\).

b) \(C\left( x \right) = 0,0003{x^2} + 0,15x + 5\).

c) Chi phí sản xuất \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng \( - 1\).

b) Đúng. Ta có: \({\log _3}\left( {f\left( x \right) + 6} \right) = 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) + 6 = 9 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\)          \(\left( * \right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y = 3\). Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm.

c) Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\).

d) Đúng. Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = - 1\\f\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\12a + 4b + c = 0\\d = - 1\\8a + 4b + 2c + d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 3\\c = 0\\d = - 1\end{array} \right.\).

Tổng \(2025a + b + c + d = - 2025 + 3 + 0 - 1 = - 2023\).

Do \(I\) là trọng tâm tam giác \(GBC\) nên ta có: \(\overrightarrow {SI} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {SG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\overrightarrow {SI} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = \frac{1}{9}\overrightarrow {SA} + \frac{4}{9}\overrightarrow {SB} + \frac{4}{9}\overrightarrow {SC} \).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{9}\\y = \frac{4}{9}\\z = \frac{4}{9}\end{array} \right. \Rightarrow 9\left( {x - y + z} \right) = 1\).

Đáp án: 1.