Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003{x^2}\) triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là \(200\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Gọi \(C\left( x \right)\) là chi phí sản xuất \(x\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) sản phẩm mỗi ngày và \(\overline c \left( x \right)\) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) \(\overline c \left( x \right) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x}\).

b) \(C\left( x \right) = 0,0003{x^2} + 0,15x + 5\).

c) Chi phí sản xuất \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

a) Đúng. Để sản xuất \(x\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003{x^2}\) triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc.

Suy ra để sản xuất \(1\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\) nước tinh khiết thì cần \(\frac{3}{x}\) triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0003x\) triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc.

\( \Rightarrow \overline c \left( x \right) = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\) (triệu đồng).

b) Sai. Khi đó, ta suy ra \(C\left( x \right) = \overline c \left( x \right) \cdot x\)\( = 3 + 0,15x + 0,0003{x^2}\).

c) Sai. Chi phí sản xuất \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) là \(C\left( {100} \right) = 3 + 0,15 \cdot 100 + 0,0003 \cdot {100^2}\)\( = 21\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là \(\overline c \left( x \right) = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\), \(0 < x \le 200\).

Đặt \(f\left( x \right) = \overline c \left( x \right) = \frac{3}{x} + 0,15 + 0,0003x\), \(0 < x \le 200\).

\(f'\left( x \right) = - \frac{3}{{{x^2}}} + 0,0003\).

\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow - 3 + 0,0003{x^2} = 0\)\( \Rightarrow x = 100\).

Bảng biến thiên của hàm \(f\left( x \right)\).

Dựa vào BBT thì chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).