Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 4 < 0\) là

Cho \[\cot \alpha = - 3\sqrt 2 \] với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Khi đó giá trị \[\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2}\] bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oth\], trong đó \(t\) là thời gian, \(h\) là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(0,5{\rm{m}}\). Sau đó \(1\) giây nó đạt độ cao \(12,5\,{\rm{m}}\) và sau \[3\] giây sau khi đá lên nó ở độ cao \({\rm{18,5}}\,{\rm{m}}\). Hãy xác định thời gian mà quả bóng được đá lên cao nhất sau khi quả bóng được đá lên?

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) và trên cạnh \(BF\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = k{\rm{. }}\)Tìm \(k\) để \(MN\,{\rm{//}}\,DE\).

Trong hộp có 15 viên bi trắng, 5 viên bi đen có kích thước và khối lượng như nhau. Xét phép thử lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 3 viên bi.

a) Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega \right) = 1140\].

b) Xác suất để chọn được 3 viên bi cùng màu là \(\frac{{35}}{{76}}\).

c) Xác suất để trong 3 viên bi được chọn có đúng 2 viên bi trắng là \(\frac{7}{{76}}\).

d) Xác suất để để trong 3 viên bi được chọn có ít nhất một viên bi đen là \(\frac{{137}}{{228}}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB{\rm{ // }}CD\). Trên cạnh \(SB\) lấy điểm \(M\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(P\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là

Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right)\): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 49.\)

a) Tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) thuộc hypebol \(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{{98}} = 1\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 49.\)

c) Đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với trục hoành.

d) Khoảng cách từ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) đến đường thẳng \(d:3x + 4y - 1 = 0\) bằng 4.

Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a,AD = 3a.\) Biết tập hợp các điểm \[M\] thoả mãn biểu thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\) là một đường tròn tâm \[I.\] Tính độ dài \[AI\] theo \(a.\)