Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) và trên cạnh \(BF\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = k{\rm{. }}\)Tìm \(k\) để \(MN\,{\rm{//}}\,DE\).

Đáp án

Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + 18 = 19\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{19}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt {19} }}\).

Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]\[ \Rightarrow \sin \alpha > 0\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {19} }}\].</>

Suy ra \[\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{2}{{\sin \alpha }} = 2\sqrt {19} \approx 8,72\].

Đáp án: \[8,72\].

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Chiều cao vòm là \(10\,{\rm{m}}\) nên \(OC = b = 10\), chiều rộng của vòm là \(24\,{\rm{m}}\)nên \(AB = 2a = 24 \Rightarrow a = 12\).

Khi đó phương trình elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\).

Gọi D là điểm thuộc elip có hình chiếu trên sàn là điểm H cách chân tường 4 m.

 Điểm H cách chân tường 4 m tương ứng cách tâm O là 8 m (vì từ tâm O đến tường là 12 m) \( \Rightarrow D\left( {8;{y_D}} \right)\). Thay tọa độ của D vào phương trình elip ta được: \(\frac{{{8^2}}}{{144}} + \frac{{{y_D}^2}}{{100}} = 1\)\( \Rightarrow {y_D} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm là \(\frac{{10\sqrt 5 }}{3}\) m.