B. TỰ LUẬN
Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a,AD = 3a.\) Biết tập hợp các điểm \[M\] thoả mãn biểu thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\) là một đường tròn tâm \[I.\] Tính độ dài \[AI\] theo \(a.\)
Câu hỏi trong đề: Bộ 3 đề KSCL đầu năm Toán 11 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:

Lời giải
Gọi \[E\] là trung điểm của \[CD,O\] là tâm của hình chữ nhật.
Gọi điểm \[I\] thoả mãn \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IO} = \overrightarrow {CB} \).
Suy ra điểm \[I\] là trung điểm của \[OE\].
Do vậy \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| \Leftrightarrow \left| {4\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {3IC} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow MI = \frac{1}{4}AC\).
Từ đó điểm \[M\] thuộc vào đường tròn tâm \[I\] và bán kính là \(\frac{{AC}}{4}\).
Vậy \(AI = \sqrt {{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3AD}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {85} }}{4}\).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,DE\) nên bốn điểm \(M,N,D,E\) đồng phẳng.
Trong mặt phẳng \(\left( {MNED} \right)\), gọi \(I = DM \cap NE \Rightarrow I \in AB,AB = \left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABEF} \right)\).
Khi đó: \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}\).
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = k\,\,(1) \Rightarrow \frac{{AC - MC}}{{AC}} = k \Rightarrow 1 - \frac{{MC}}{{AC}} = k \Rightarrow \frac{{MC}}{{AC}} = 1 - k\,\,(2).\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\); tương tự ta chứng minh được \(\frac{{BN}}{{FN}} = \frac{k}{{1 - k}}\).
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IA}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\);
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,EF\) nên \(\frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}\).
Mặt khác \(\frac{{AI}}{{DC}} + \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{AI}}{{FE}} + \frac{{BI}}{{EF}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{k}{{1 - k}} = 1\)\( \Rightarrow 2k = 1 - k \Rightarrow k = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)
Vậy với \(k = \frac{1}{3}\) thì \(MN\,{\rm{//}}\,DE\).
Lời giải
Đáp án
Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + 18 = 19\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{19}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt {19} }}\).
Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]\[ \Rightarrow \sin \alpha > 0\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {19} }}\].</>
Suy ra \[\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{2}{{\sin \alpha }} = 2\sqrt {19} \approx 8,72\].
Đáp án: \[8,72\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.