B. TỰ LUẬN

Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a,AD = 3a.\) Biết tập hợp các điểm \[M\] thoả mãn biểu thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\) là một đường tròn tâm \[I.\] Tính độ dài \[AI\] theo \(a.\) 

Lời giải

Gọi \[E\] là trung điểm của \[CD,O\] là tâm của hình chữ nhật.

Gọi điểm \[I\] thoả mãn \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IO} = \overrightarrow {CB} \).

Suy ra điểm \[I\] là trung điểm của \[OE\].

Do vậy \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| \Leftrightarrow \left| {4\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {3IC} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow MI = \frac{1}{4}AC\).

Từ đó điểm \[M\] thuộc vào đường tròn tâm \[I\] và bán kính là \(\frac{{AC}}{4}\).

Vậy \(AI = \sqrt {{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3AD}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {85} }}{4}\).