Cho hình bình hành \[ABCD\,\,\left( {AB > AD} \right).\] Gọi \[E\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD;{\rm{ }}BD\] cắt \[AK,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}CE\] lần lượt tại \[M,{\rm{ }}O,{\rm{ }}N.\] Chứng minh:

a) Tứ giác \[AECK\] là hình bình hành.

b) Ba điểm \[E,{\rm{ }}O,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

c) \[MD = MN = NB.\]

b) Do tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.

Mà \[O\] là giao của \[AC\] và \(BD\) nên \[O\] là trung điểm \[AC\].

Lại có tứ giác \[AECK\] là hình bình hành (câu a) nên \[O\] là trung điểm \[EK.\]

Do đó, ba điểm \[E,{\rm{ }}O,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

c) Vì \(O,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD\) nên \(AK,\,\,DO\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ADC.\)

Mà hai đường trung tuyến\(AK\) và \(DO\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trọng tâm \(\Delta ADC.\)

Vì \(E,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(AB,\,\,AC\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

Mà hai đường trung tuyến \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại \(N\) nên \(N\) là trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Khi đó \(BN = \frac{2}{3}OB\,;\,\,ON = \frac{1}{3}BO\,;\,\,DM = \frac{2}{3}DO\,;\,\,OM = \frac{1}{3}DO\). (1)

Do tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.

Mà \[O\] là giao của \(AC\) và \(BD\) nên \[O\] là trung điểm \(BD\) hay \[OB = OD.\] (2)

Từ (1) (2) suy ra \[MD = MN = NB.\]