PHẦN II. TỰ LUẬN

Một người đang ở tại điểm A trên sa mạc. Ông ta muốn đến điểm B và cách A một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe ông ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc 30 km/h. Ông ấy phải đến được điểm B trong 2 giờ. Biết rằng có một con đường nhựa HK song song với AB và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa này thì xe ông ấy có thể di chuyển với vận tốc 50 km/h . Để đến B sớm nhất (đảm bảo trong khung giờ cho phép) thì ông phải đi theo con đường nào?

Thời gian nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc là \(\frac{{70}}{{30}} = \frac{7}{3} > 2\).

Do đó, nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định.

Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: \(A \to C \to D \to B\).

Đặt \(HC = x\,\,\left( {0 < x < 70} \right);DK = y\,\,\left( {0 < y < 70} \right)\).

Thời gian đi từ \(A \to C\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}}\).

Thời gian đi từ \(C \to D\) là \(\frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\).

Thời gian đi từ \(D \to B\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}}\).

Tổng thời gian đi từ \(A \to B\) theo cách này là:

 \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - y}}{{50}} = f\left( x \right) + f\left( y \right)\).

Xét \(f\left( u \right) = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - u}}{{50}}\), \(0 < u < 70\).

Ta có \(f'\left( u \right) = \frac{u}{{30\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }} - \frac{1}{{50}};f'\left( u \right) = 0 \Rightarrow u = \frac{{15}}{2}\).

Lập bảng biến thiên ta được \(\mathop {\min }\limits_{u \in \left( {0;70} \right)} f\left( u \right) = f\left( {\frac{{15}}{2}} \right) = \frac{{29}}{{30}}\).

Khi đó \(f\left( x \right) + f\left( y \right) \ge \frac{{29}}{{30}} + \frac{{29}}{{30}} = \frac{{29}}{{15}} \approx 1,93\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{{15}}{2}\).

Vậy để đến B sớm nhất thì ông ta phải đi trên đoạn AC một khoảng 12,5 km, đoạn CD một khoảng 45 km và đi trên đoạn DB một khoảng 12,5 km.