Để loại bỏ \(x\% \) chất gây ô nhiễm môi trường từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí (triệu đồng) cần bỏ ra được mô hình hoá bởi hàm số có dạng \(C\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{ - x + d}}\) (như hình vẽ), \(\left( {0 \le x < 100} \right).\) Tính chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ \(90\% \) và loại bỏ \(99\% \) chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy.

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} \) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm \(O\) lần lượt có độ lớn là \(30{\rm{N}};\,30{\rm{N}};\,40{\rm{N}}\).

Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ;\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ;\,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng các hình bình hành \(OADB\) và \(ODEC\).

Hợp lực tác dụng vào vật là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} \).

Hình bình hành \(OADB\) có \(\widehat {AOB} = 120^\circ \) và \(OA = OB\) nên \(\Delta OBD\) đều, suy ra \(OB = OD = 30{\rm{N}}\).

Vì \(OC \bot \left( {OAB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(\Delta ODE\) vuông tại \(D\).

Ta có \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = {40^2} + {30^2} = {50^2}\), suy ra \(OE = 50\).

Vậy hợp lực có độ lớn là \(F = 50{\rm{N}}\).

Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 5}}{{{x_0} + 2}}} \right)\].

Gọi \[\left( d \right)\] là khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[3x + y + 6 = 0\].

Ta có \[d = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {\frac{{4x_0^2 + 16{x_0} + 17}}{{{x_0} + 2}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {4\left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{1}{{{x_0} + 2}}} \right| \ge \frac{4}{{\sqrt {10} }}\].

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow 4\left| {{x_0} + 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} + 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 5}}{2} \Rightarrow {y_0} = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là \[{M_1}\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right)\] và \[{M_2}\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\].