Để loại bỏ \(x\% \) chất gây ô nhiễm môi trường từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí (triệu đồng) cần bỏ ra được mô hình hoá bởi hàm số có dạng \(C\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{ - x + d}}\) (như hình vẽ), \(\left( {0 \le x < 100} \right).\) Tính chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ \(90\% \) và loại bỏ \(99\% \) chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy.

Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 5}}{{{x_0} + 2}}} \right)\].

Gọi \[\left( d \right)\] là khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[3x + y + 6 = 0\].

Ta có \[d = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {\frac{{4x_0^2 + 16{x_0} + 17}}{{{x_0} + 2}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {4\left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{1}{{{x_0} + 2}}} \right| \ge \frac{4}{{\sqrt {10} }}\].

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow 4\left| {{x_0} + 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} + 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 5}}{2} \Rightarrow {y_0} = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là \[{M_1}\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right)\] và \[{M_2}\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\].

a) Đúng. \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BC \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5\), tương tự \(AD = 5\).

\(M\) là trung điểm \(CD\)\( \Rightarrow AM \bot MC\) (do \(\Delta ACD\) cân tại \(A\))\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MC} = 0\).

b) Sai. Ta có \(\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 5\).

c) Đúng. Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) .

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} \)

\( = 3\overrightarrow {AG} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).

d) Sai. Từ đẳng thức \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\), ta suy ra\(AG < \frac{1}{3}\left( {\left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right| + \left| {\vec c} \right|} \right) = \frac{1}{3}\left( {4 + 5 + 5} \right) = \frac{{14}}{3}\).

Ngoài ra, ta có thể tính \(AG\) bằng định lý Pythagore.

Ta có \(BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \). Khi đó, \(AG = \sqrt {B{G^2} + A{B^2}} = \sqrt {19} < \frac{{14}}{3}\).