Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất, \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right].\) Khi đó tính tổng \(M + m\).

Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 5}}{{{x_0} + 2}}} \right)\].

Gọi \[\left( d \right)\] là khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[3x + y + 6 = 0\].

Ta có \[d = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {\frac{{4x_0^2 + 16{x_0} + 17}}{{{x_0} + 2}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {4\left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{1}{{{x_0} + 2}}} \right| \ge \frac{4}{{\sqrt {10} }}\].

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow 4\left| {{x_0} + 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} + 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 5}}{2} \Rightarrow {y_0} = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là \[{M_1}\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right)\] và \[{M_2}\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\].

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} \) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm \(O\) lần lượt có độ lớn là \(30{\rm{N}};\,30{\rm{N}};\,40{\rm{N}}\).

Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ;\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ;\,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng các hình bình hành \(OADB\) và \(ODEC\).

Hợp lực tác dụng vào vật là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} \).

Hình bình hành \(OADB\) có \(\widehat {AOB} = 120^\circ \) và \(OA = OB\) nên \(\Delta OBD\) đều, suy ra \(OB = OD = 30{\rm{N}}\).

Vì \(OC \bot \left( {OAB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(\Delta ODE\) vuông tại \(D\).

Ta có \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = {40^2} + {30^2} = {50^2}\), suy ra \(OE = 50\).

Vậy hợp lực có độ lớn là \(F = 50{\rm{N}}\).