Khảo sát tuổi thọ của một loại bóng đèn được hai phân xưởng A và B cùng sản xuất cho ở bảng sau:

Tuổi thọ (tháng)	\([24;27)\)	\([27;30)\)	\([30;33)\)	\([33;36)\)	\([36;39)\)
Số bóng đèn của phân xưởng A	\(4\)	\(8\)	\(10\)	\(6\)	\(2\)	\({n_A} = 30\)
Số bóng đèn của phân xưởng B	\(5\)	\(7\)	\(9\)	\(7\)	\(2\)	\({n_B} = 30\)

a) Khoảng biến thiên của tuổi thọ bóng đèn phân xưởng A là \(15\).

b) Khoảng tứ phân vị của tuổi thọ bóng đèn phân xưởng A và phân xưởng B lần lượt là  \(\frac{{39}}{7}\) và \(4,9375\).

c) Tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà hai phân xưởng sản xuất là bằng nhau.

d) Nếu so sánh độ lệch chuẩn tuổi thọ bóng đèn mẫu số liệu của phân xưởng B đồng đều hơn mẫu số liệu của phân xưởng A.

a) Khoảng biến thiên của tuổi thọ bóng đèn phân xưởng A là \(R = 39 - 24 = 15\).

b) Đối với mẫu số liệu phân xưởng A:

Cỡ mẫu n = 4 + 8 + 10 + 6 + 2 = 30.

Gọi \({x_1}\), \({x_1}\), \( \ldots \), \({x_{30}}\) là tuổi thọ bóng đèn phân xưởng A được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu \({x_8} \in [27;30)\), tứ phân vị thứ \(3\) của mẫu số liệu \({x_{23}} \in [33;36)\). Do đó

\({Q_1} = 27 + \frac{{7,5 - 4}}{8} \cdot 3 = 28,3125,\)

\({Q_3} = 33 + \frac{{22,5 - 22}}{6} \cdot 3 = 33,25.\)

Do đó \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 33,25 - 28,3125 = 4,9375\).

Đối với mẫu số liệu phân xưởng B:

Cỡ mẫu n = 5 + 7 + 9 + 7 + 2 = 30.

Gọi \({x_1}\), \({x_1}\), \( \ldots \), \({x_{30}}\) là tuổi thọ bóng đèn phân xưởng B được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu \({x_8} \in [27;30)\), tứ phân vị thứ \(3\) của mẫu số liệu \({x_{23}} \in [33;36)\). Do đó

\({Q_1} = 27 + \frac{{7,5 - 5}}{7} \cdot 3 = \frac{{393}}{{14}},\) \({Q_3} = 33 + \frac{{22,5 - 21}}{7} \cdot 3 = \frac{{471}}{{14}}.\)

Do đó \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{471}}{{14}} - \frac{{393}}{{14}} = \frac{{39}}{7}\).

c)

Số trung bình của phân xưởng A là \({\bar x_A} = \frac{{25,5 \cdot 4 + 28,5 \cdot 8 + 31,5 \cdot 10 + 34,5 \cdot 6 + 37,5 \cdot 2}}{{30}} = 30,9.\)

Số trung bình của phân xưởng B là \({\bar x_B} = \frac{{25,5 \cdot 5 + 28,5 \cdot 7 + 31,5 \cdot 9 + 34,5 \cdot 7 + 37,5 \cdot 2}}{{5 + 7 + 9 + 7 + 2}} = 30,9.\)

d) Phương sai của mẫu số liệu phân xưởng A là

\(s_A^2 = \frac{1}{{30}}\left( {{{25,5}^2} \cdot 4 + {{28,5}^2} \cdot 8 + {{31,5}^2} \cdot 10 + {{34,5}^2} \cdot 6 + {{37,5}^2} \cdot 2} \right) - {30,9^2} = 11,04.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu phân xưởng A là \({s_A} = \sqrt {11,04}  \approx 3,32\).

Phương sai của mẫu số liệu phân xưởng B là

\(s_B^2 = \frac{1}{{30}}\left( {{{25,5}^2} \cdot 5 + {{28,5}^2} \cdot 7 + {{31,5}^2} \cdot 9 + {{34,5}^2} \cdot 7 + {{37,5}^2} \cdot 2} \right) - {30,9^2} = 12,24.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu phân xưởng B là \({s_B} = \sqrt {12,24}  \approx 3,5\).

Vì \({s_A} < {s_B}\) nên tuổi thọ bóng đèn mẫu số liệu của phân xưởng A đồng đều hơn mẫu số liệu của phân xưởng B.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;  c) Đúng;   d) Sai.