Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho ba điểm \(M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 1;1;1} \right)\) và \(P\left( {1;m - 1;\,2} \right)\). Tìm \(m\) để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt S(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\). Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn 30 N và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau như hình. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \).

Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = 6; AD = 7; AE = 5. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, E lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Gọi K là tâm của ABCD. Điểm N(a; b; c) là trọng tâm của tam giác AHK. Tính P = 2a – 4b + 3c.

Trong phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một drone giao hàng đang ở tọa độ A(1; 0; 1) di chuyển đến địa điểm nhận hàng là B(4; 4; 6). Mỗi đơn vị trên phần mềm bằng 1 km ngoài thực tế. Biết tốc độ của drone là 80 km/h. Giả sử rằng từ vị trí giao hàng và nhận hàng không gặp chướng ngại vật, sức cản gió khống đáng kể để drone bay theo đường thẳng. Thời gian drone bay từ vị trí ban đến đến địa điểm giao hàng mất bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 1), B(1; −2; 3). Biết điểm M(x; 0; z) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho MA + MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = 3z – x².

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 2; 1), \(B\left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\).

(a) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt 5 \).

(b) Tam giác OAB là tam giác nhọn.

(c) Chân đường phân giác trong góc \(\widehat {AOB}\) là \(D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\).

(d) Biết I(a; b; c) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB. Khi đó S = a + b + c = 2.

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {4;\,\,2;\,\,1} \right)\), \(B\left( { - 2;\, - 1;\,4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\)thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \).

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

(a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.

(b) Tọa độ của máy bay (300; 150; 9).

(c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động với vận tốc theo hương đông là 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng đông với vận tốc 10 m/s. Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì lúc 10 giờ 30 phút máy bay ở tọa độ (150; 1086; 9).

(d) Sau khi bay đến vị trí lúc 10 giờ 30 phút thì máy bay bay ngược lại với vận tốc 800 km/h với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11 giờ máy bay ở tọa độ (686; 150; 9).