Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho ba điểm \(M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 1;1;1} \right)\) và \(P\left( {1;m - 1;\,2} \right)\). Tìm \(m\) để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).

Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = 6; AD = 7; AE = 5. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, E lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Gọi K là tâm của ABCD. Điểm N(a; b; c) là trọng tâm của tam giác AHK. Tính P = 2a – 4b + 3c.

Trong phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một drone giao hàng đang ở tọa độ A(1; 0; 1) di chuyển đến địa điểm nhận hàng là B(4; 4; 6). Mỗi đơn vị trên phần mềm bằng 1 km ngoài thực tế. Biết tốc độ của drone là 80 km/h. Giả sử rằng từ vị trí giao hàng và nhận hàng không gặp chướng ngại vật, sức cản gió khống đáng kể để drone bay theo đường thẳng. Thời gian drone bay từ vị trí ban đến đến địa điểm giao hàng mất bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần mười).

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt S(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\). Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn 30 N và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau như hình. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \).

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 2; 1), \(B\left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\).

(a) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt 5 \).

(b) Tam giác OAB là tam giác nhọn.

(c) Chân đường phân giác trong góc \(\widehat {AOB}\) là \(D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\).

(d) Biết I(a; b; c) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB. Khi đó S = a + b + c = 2.

Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2; 3; −1), N(−1; 1; 1).

(a) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(\sqrt {17} \).

(b) Cho P(1; m – 1; 3). Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1.

(c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \).

(d) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \) là \(\overrightarrow v = \left( {1;4;0} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 1), B(1; −2; 3). Biết điểm M(x; 0; z) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho MA + MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = 3z – x².

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5).

(a) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

(b) ABCD là hình bình hành với điểm D(2; 1; −3).

(c) Điểm M(x; y; z) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) thì ta có 4x + 4y + z = 10.

(d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 5\).