Câu hỏi:

30/08/2025 250 Lưu

Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

(a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).

(b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).

(c)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

(d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
(a) \(\overri (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)

b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)

d) \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .

Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(90^\circ \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng 200 N lên trần nhà bằng ba sợi dây không dãn, bằng nhau tại ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà (ảnh 2)

Lực căng trong mỗi dây sẽ bằng nhau.

Gọi lực căng trong mỗi dây là \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \). Do đèn ở trạng thái cân bằng, các lực căng phải tạo ra một hợp lực bằng với trọng lượng của đèn, hướng thẳng lên trên.

Các lực căng \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \) đều phân tích được thành tổng hai thành phần lực thành phần ngang và thành phần đứng. Thành phần đứng của lực căng sẽ giúp cân bằng trọng lượng của đèn và thành phần ngang sẽ triệt tiêu lẫn nhau do tam giác đều đối xứng

Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng 200 N lên trần nhà bằng ba sợi dây không dãn, bằng nhau tại ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà (ảnh 3)

Mỗi dây tạo với mặt phẳng trần nhà góc 30°, do đó thành phần đứng của lực căng trong mỗi dây là: \(\left| {\overrightarrow {OA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}T\).

Tổng của ba thành phần đứng của lực căng phải cân bằng với trọng lượng của đèn nên suy ra

\(3T.\frac{1}{2} = 200 \Rightarrow T = \frac{{200}}{{\frac{3}{2}}} \approx 133\) (N).

Trả lời: 133.

Lời giải

Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz. Biết các kích thước của mái lều là SA = 5m, AB = 10m, độ cao từ S xuống mặt đất là 4m. Bạn An (ảnh 2)

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OA, SQ.

\(OA = 2IA = 2\sqrt {{5^2} - {4^2}} = 6\).

Gọi H là vị trí chiếc đèn, KH = 30 cm = 0,3 m. Gọi G là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật OABC, suy ra HG = 4 – 0,3 = 3,7 m.

Do đó H(3; 5; 3,7).

Ta thấy OH = AH = CH = BH nên tổng chiều dài sợi dây màu xanh tối thiểu bạn An cần mua là 4OH.

Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;5;3,7} \right) \Rightarrow 4OH = 4\sqrt {{3^2} + {5^2} + {{\left( {3,7} \right)}^2}} \approx 27,6\) m.

Trả lời: 27,6.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A.

A. \(\left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\).

B.

(0; 2; 0).

C.

\(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\).

D.

\(\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A.

\(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = a\sqrt 2 \).

B.

\(\left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = a\sqrt 3 \).

C.

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow 0 \).

D.

\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP