Tìm số tự nhiên \(x\) thỏa mãn \[5 \cdot {2^2} + \left( {x + 3} \right) = {5^2}.\]

Đáp án: 2.

Ta có \(100 < {5^{2x - 1}} < {5^6}\)

\({5^2} < 100 < {5^{2x - 1}} < {5^6}\)

\(2 < 2x - 1 < 6\)

\(3 < 2x < 7\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \in \left\{ {2\,;\,\,3} \right\}\), do đó có 2 số tự nhiên \(x\) thỏa mãn.

Đáp án: 1540.

Ta có \(S = {2^2} + {4^2} + {6^2} +  \ldots  + {20^2}\)

\[ = {2^2} \cdot {1^2} + {2^2} \cdot {2^2} + {2^2} \cdot {3^2} +  \ldots  + {2^2} \cdot {10^2}\]

\[ = {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} +  \ldots  + {{10}^2}} \right)\]

\[ = 4 \cdot 385 = 1540.\]

Vậy \[S = 1540.\]