Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:

Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số \(m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là \(4\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{2x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Chọn C.

Xét hàm số \[y = f\left( x \right)\].Từ bảng biến thiên ta có:

a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \], \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 10\].

Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 10\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - 3\],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\).

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty \],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

c) Tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 3.

d) Xét hàm số\[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\].

Đặt \[g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\], ta có hàm số xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2;a} \right\}\], trong đó \[f\left( a \right) = - 3\] và \[a \in \left( {2; + \infty } \right)\]. Khi đó ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) + 6}} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) + 6}} = \frac{1}{{26}}\] nên \[y = 0\] và \[y = \frac{1}{{26}}\] là hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = - 2\] là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} f\left( x \right) + 6}} = 0 \Rightarrow x = 2\] không là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = a\] là tiệm cận đứng;

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\] có \[4\] đường tiệm cận.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.