Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\).

a) Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \).

c) Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng là \(x = - 1;x = 0;x = 1\).

d) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang \(y = 2\) và \(y = 0\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{2x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Chọn C.

a) Có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là \(\left( { - 1;1} \right)\).

d) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)\( \Rightarrow M\left( {{x_0};1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}}} \right)\).

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: \({d_1} = \left| {{x_0} + 1} \right|\).

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: \({d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\).

Vậy \({d_1}.{d_2} = 2\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai; d) Sai.